리 대응

리 군론에서 리 대응(Lie對應, 영어: Lie correspondence)은 리 군의 범주에서 실수 리 대수의 범주로 가는 표준적인 함자이다. 즉, 각 리 군에 표준적 실수 리 대수가 대응되며, 리 군의 매끄러운 군 준동형에 실수 리 대수의 준동형이 대응된다.

정의

리 군 $G$ 위에는 각 $g \in G$ 에 대하여 다음과 같은 자기 함수를 정의할 수 있다.

𝖫_{g} : G \to G (g \in G)

𝖫_{g} : h \mapsto g h

$G$ 위의 매끄러운 벡터장 $X \in Γ^{\infty} (X)$ 가 다음 조건을 만족시키면, 왼쪽 불변 벡터장이라고 한다.

𝖫_{g *} (X^{μ} (h)) = X^{μ} (g h) \forall g, h \in G

여기서

$𝖫_{g *} : T_{h} G \to T_{g h} G$ 는 $𝖫_{g}$ 에 대한 벡터장의 밂이다.

그렇다면, 다음 두 실수 벡터 공간 사이에 표준적인 동형이 존재하며, 이 실수 벡터 공간을 $Lie (G)$ 라고 한다.

$G$ 위의 왼쪽 불변 벡터장들의 벡터 공간
$G$ 의 항등원 $1 \in G$ 에서의 접공간 $T_{1} G$

또한, $Lie (G)$ 는 (왼쪽 불변 벡터장의) 리 미분

[X, Y] = ℒ_{X} Y

에 대하여 닫혀 있음을 보일 수 있다. 따라서, 이를 부여하면 $Lie (G)$ 는 리 대수를 이룬다. 이를 리 대응이라고 한다. 만약 $G$ 가 복소수 리 군이라면, $Lie (G)$ 는 자연스럽게 복소수 벡터 공간을 이루며, 따라서 복소수 리 대수가 된다.

마찬가지로, 두 리 군 사이의 매끄러운 군 준동형

f : G \to H

및 $G$ 위의 왼쪽 불변 매끄러운 벡터장 $X \in Lie (G)$ 에 대하여, 밂 $f_{*} X \in Γ^{\infty} (G)$ 는 $H$ 의 왼쪽 불변 매끄러운 벡터장을 정의한다. 이는 리 대수의 준동형

Lie (f) = d f ↾ Lie (G) : Lie (G) \to Lie (H)

를 정의한다.

통상적으로, 주어진 리 군의 리 대수는 리 군의 이름의 흑자체 소문자로 쓴다. 예를 들어 SO(5)의 리 대수는 $Lie (SO (5)) = 𝔰 𝔬 (5)$ 이다.

성질

함자성

$Lie$ 는 리 군의 범주에서 실수 리 대수의 범주로 가는 충실한 함자를 정의한다.

Lie : LieGrp \to {LieAlg}_{ℝ}

연산과의 호환

리 대응은 차원을 보존한다. 즉, $n$ 차원 리 군에 대응되는 실수 리 대수는 $n$ 차원 실수 리 대수이다.

\dim Lie (G) = \dim G

리 대응 아래, 반대군은 리 괄호에 −1을 곱하는 것에 대응한다.

Lie (G^{op}) = (Lie (G))^{op}

(V, [-, -]_{V})^{op} = (V, - [-, -]_{V})^{op}

리 대응은 리 군의 직접곱을 리 대수의 직합으로 대응시킨다.

Lie (G \times H) = Lie (G) \oplus Lie (H)

리 대응은 리 군의 (닫힌 부분군에 대한) 짧은 완전열을 실수 리 대수의 짧은 완전열로 대응시킨다.

1 \to K \to G \to G / H \to 1

0 \to Lie (K) \to Lie (G) \to \frac{Lie (G)}{Lie (K)} \to 0

마찬가지로, 리 대응은 리 군의 닫힌 부분군을 실수 리 대수의 부분 리 대수로 대응시킨다. (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.)

전사성 · 단사성

함자 $Lie : LieGrp \to {LieAlg}_{ℝ}$ 는 대상의 동형류에 대하여 단사 함수도, 전사 함수도 아니다.

단사성은 리 대수가 국소적인 정보만을 담기 때문이다. 예를 들어 SO(3)과 SU(2)는 국소적으로 같으므로 (SU(2)는 SO(3)의 범피복군) 같은 리 대수 $𝔰 𝔬 (3) ≅ 𝔰 𝔲 (2)$ 를 지닌다.
전사성의 실패는 무한 차원에서 일어난다. 모든 유한 리 대수에 대하여 대응되는 리 군이 존재하지만, 이는 무한 차원 리 대수에 대해서는 성립하지 않는다. (정의에 따라 모든 매끄러운 다양체는 유한 차원이지만, 무한 차원 다양체의 개념을 도입하여도 이 문제는 쉽게 해결할 수 없다.)

그러나 리 제3 정리(Lie第三定理, 영어: Lie's third theorem)에 따르면, 이 함자를 유한 차원 리 대수 및 (유한 차원) 연결 단일 연결 리 군에 국한한다면, 이 함자는 (동형을 무시하면) 범주의 동치를 이룬다. 즉, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

연결 단일 연결 리 군의 동형류
실수 유한 차원 리 대수의 동형류

이 함수는 구체적으로 $G \mapsto Lie (G)$ 이다. 또한, 임의의 두 연결 단일 연결 리 군 $G$ , $H$ 에 대하여, 다음과 같은 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

hom (G, H) \to hom (Lie (G), Lie (H))

여기서 좌변은 두 리 군 사이의 매끄러운 군 준동형의 집합이며, 우변은 두 실수 리 대수 사이의 리 대수 준동형의 집합이다.

부분 리 대수에 대응하는 부분군

리 군 $G$ 의 부분군 $H \leq G$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군을 해석적 부분군(영어: analytic subgroup) 또는 몰입 부분군(영어: immersed subgroup)이라고 한다.^[1]^:71^[2]^:95

$H$ 에 적절한 위상을 주면 연결 리 군 $\tilde{H}$ 으로 만들 수 있으며, 이 경우 포함 함수 $\tilde{H} \to G$ 는 매끄러운 다양체의 매끄러운 몰입을 이룬다.
$H$ 에 부분 공간 위상을 주면, $H$ 는 경로 연결 공간이다.

그러나 후자를 경로 연결성에서 연결성으로 약화시킬 수 없다.^[3] $H$ 가 리 군 (즉, 매끄러운 다양체)이 되게 하는 위상과 $G$ 로부터의 부분 공간 위상은 일반적으로 다르다.

모든 닫힌 부분군은 해석적 부분군이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

만약 $G$ 가 연결 단일 연결 리 군일 경우, 리 제2 정리(Lie第二定理, 영어: Lie’s second theorem)에 따르면, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.^[1]^:72^[2]^[4]^:101

$G$ 의 해석적 부분군들의 집합
$G$ 의 리 대수 $𝔤$ 의 부분 리 대수들의 집합

구체적으로, $G$ 의 해석적 부분군 $H \leq G$ 에 대응하는 부분 리 대수는 $H$ 위에 다른 위상을 주어 리 군 $\tilde{H}$ 로 만들었을 때, $\tilde{H}$ 의 리 대수 $𝔥$ 이다.

리 군 표현에 대응하는 리 대수 표현

리 군에 대응하는 리 대수의 특별한 경우로, 리 군 $G$ 의 유한 차원 표현

ρ : G \to GL (n; K)

를 생각하자. 여기서 $K$ 는 유한 차원 실수 결합 대수를 이루는 나눗셈환이다 (즉, $K \in {ℝ, ℂ, ℍ}$ 이다).

이 경우, 이에 대응하는 실수 리 대수 준동형

Lie (ρ) : Lie (G) \to 𝔤 𝔩 (n; K)

를 정의할 수 있다. 이는 $ρ$ 에 대응하는 리 대수의 표현이다.

예

$n$ 차원 아벨 리 군 $G$ 에 대하여 대응하는 리 대수는 아벨 리 대수 $ℝ^{n}$ 이다.

(0차원 리 군으로 간주한) 이산군에 대응하는 리 대수는 0차원 실수 리 대수 $0$ 이다.

$K \in {ℝ, ℂ, ℍ}$ 일 때, $n \times n$ 직교 행렬의 리 군 $O (n; K)$ 의 리 대수는 $n \times n$ 반대칭 행렬의 리 대수 $𝔬 (n; 𝕂)$ 이다.

닫힌집합이 아닌 해석적 부분군

원환면 리 군 $U (1) \times U (1) = {(\exp (i α), \exp (i β)) : α, β \in ℝ}$ 에서, 임의의 실수 $c$ 에 대하여 부분군 ${(\exp (i α), \exp (i c α)) : α \in ℝ}$ 를 정의하자. 그렇다면, $c$ 가 유리수일 경우 이는 닫힌집합인 부분군이지만, 아닐 경우 이는 닫힌집합이 아닌 해석적 부분군이다.

역사

리 대응 및 리의 제2·제3 정리는 소푸스 리가 도입하였다.

참고 문헌

↑ ^가 ^나 Knapp, Anthony W. (2002). 《Lie groups beyond an introduction》 2판 (영어). Progress in Mathematics 140. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389. Zbl 1075.22501. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
↑ ^가 ^나 Fulton, William; Harris, Joe (1991). 《Representation theory: a first course》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 129. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8.
↑ Thomas, E. S. (1987). “Connected subgroups of Lie groups” (영어). 《Illinois Journal of Mathematics》 31 (4): 689–691. ISSN 0019-2082. MR 909791. Zbl 0611.22005.
↑ MacDonald, I. G. (1980). 〈Algebraic structure of Lie groups〉 (영어). 《Representation theory of Lie groups: proceedings of the SRC/LMS Research Symposium on Representations of Lie Groups, Oxford, 28 June – 15 July 1977》. London Mathematical Society Lecture Note Series 34. Cambridge University Press. 91–150쪽. doi:10.1017/CBO9780511662683.005. ISBN 978-052122636-3.

외부 링크

“Lie algebra of an analytic group” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.

[Knapp-1] 가 ^나 Knapp, Anthony W. (2002). 《Lie groups beyond an introduction》 2판 (영어). Progress in Mathematics 140. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389. Zbl 1075.22501. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

[FH-2] 가 ^나 Fulton, William; Harris, Joe (1991). 《Representation theory: a first course》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 129. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8.

[3] Thomas, E. S. (1987). “Connected subgroups of Lie groups” (영어). 《Illinois Journal of Mathematics》 31 (4): 689–691. ISSN 0019-2082. MR 909791. Zbl 0611.22005.

[4] MacDonald, I. G. (1980). 〈Algebraic structure of Lie groups〉 (영어). 《Representation theory of Lie groups: proceedings of the SRC/LMS Research Symposium on Representations of Lie Groups, Oxford, 28 June – 15 July 1977》. London Mathematical Society Lecture Note Series 34. Cambridge University Press. 91–150쪽. doi:10.1017/CBO9780511662683.005. ISBN 978-052122636-3.

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