리 초대수 표현

리 초대수 이론에서, 리 초대수의 표현(表現, 영어: representation)은 어떤 리 초대수의 원소들을 초행렬들로 나타내는 것이다.^{:§§32–40, §60} 추상적으로, 이는 리 초대수에서, 어떤 초벡터 공간 위의 선형 초대수로 가는 리 초대수 준동형이다.

정의

체 $K$ 위의 유한 차원 초벡터 공간 $V=V_0\oplus V_1$ 위의 선형 초대수(영어: linear superalgebra) $𝔤𝔩(V;K)$를 생각하자. 이는 모든 초행렬

$M:V\to V$

들로 구성되는 리 초대수이다. 그 보손 성분은

${𝔤𝔩}_0(V;K)=𝔤𝔩(V_0;K)\oplus 𝔤𝔩(V_1;K)$

이며, 그 페르미온 성분은

${𝔤𝔩}_1(V;K)=V_0{\otimes }_K{V}_1\oplus V_1{\otimes }_K{V}_0$

이다.

체 $K$ 위의 리 초대수 $𝔤={𝔤}_0\oplus {𝔤}_1$의 표현은 어떤 초벡터 공간 $V$ 위의 선형 초대수로 가는 $K$-리 초대수 준동형

$\rho :𝔤\to 𝔤𝔩(V)$

이다.^:§32

즉, 구체적으로 이는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 리 대수의 표현 ${\rho }_{00}:{𝔤}_0\to 𝔤𝔩(V_0;K)$
• 리 대수의 표현 ${\rho }_{11}:{𝔤}_0\to 𝔤𝔩(V_1;K)$
• $K$-선형 변환 ${\rho }_{01}:{𝔤}_1\to V_0\otimes V_1$
• $K$-선형 변환 ${\rho }_{10}:{𝔤}_1\to V_0\otimes V_1$

이는 네 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• ${\rho }_{00}(\{X,Y\})={\rho }_{01}(X){\rho }_{10}(Y)+{\rho }_{01}(Y){\rho }_{10}(X)(X,Y\in {𝔤}_1)$
• ${\rho }_{11}(\{X,Y\})={\rho }_{10}(X){\rho }_{01}(Y)+{\rho }_{10}(Y){\rho }_{01}(X)(X,Y\in {𝔤}_1)$
• ${\rho }_{01}([X,Y])={\rho }_{00}(X){\rho }_{01}(Y)-{\rho }_{01}(Y){\rho }_{11}(X)(X\in {𝔤}_0,Y\in {𝔤}_1)$
• ${\rho }_{10}([X,Y])={\rho }_{11}(X){\rho }_{10}(Y)-{\rho }_{10}(Y){\rho }_{00}(X)(X\in {𝔤}_0,Y\in {𝔤}_1)$

($X,Y\in {𝔤}_0$인 경우는 리 대수의 표현의 정의에 포함된다.)

예

임의의 리 초대수 $𝔤$ 및 초벡터 공간 $V$에 대하여, 값이 0인 상수 함수 $𝔤\to 𝔤𝔩(V)$는 자명하게 리 초대수의 표현을 이룬다. 이를 자명한 표현(영어: trivial representation)이라고 한다.

모든 리 초대수 $𝔤$는 스스로 위의 표현

${\mathrm{ad}}_{𝔤}:𝔤\to 𝔤𝔩(𝔤)$

${\mathrm{ad}}_{𝔤}(X)=[X,-\}$

을 갖는다. 이를 $𝔤$의 딸림표현이라고 한다.^:§32

리 초대수 $𝔤$에서, 만약 ${𝔤}_1=\{0\}$인 경우, $𝔤$의, 초벡터 공간 $V=V_0\oplus V_1$ 위의 표현은 단순히 ${𝔤}_0$의 두 개의 ($V_0$과 $V_1$ 위의) 표현에 불과하다.

같이 보기

• 등급 가군
• 리 대수의 표현