마요라나 스피너

이론물리학과 표현론에서 마요라나 스피너(영어: Majorana spinor)는 특정 차원과 부호수에서 존재하는, 스핀 군의 실수 표현이다.^{:Chapter 3} 마요라나 페르미온의 가능성을 제시하는 물리학적 모형이다.

정의

$(s,t)$차원의 부호수의 내적을 갖는 실수 벡터 공간 ${ℝ}^{s,t}$ 위의 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cl}(s,t)$를 생각하자. 즉,

$\{{\gamma }^i,{\gamma }^j\}=2{\eta }^{ij}$

에서, $\eta$는 $s$개의 +부호와 $t$개의 −부호를 갖는다. 또한, 그 속에서 짝수 개의 $\gamma$만을 포함하는 항들로 구성된 부분 대수 ${\mathrm{Cl}}^{+}(s,t)\subseteq \mathrm{Cl}(s,t)$가 존재한다.

그렇다면, 실수 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cl}(s,t)$는 다음과 같이 분류되며, 이는 스피너와 감마 행렬의 성질을 결정한다.

$(s-t)mod8$	$\mathrm{Cl}(s,t)$	${\mathrm{Cl}}^{+}(s;t)$	스피너의 성질	감마 행렬의 성질
±4	$\mathrm{Mat}(N/2;ℍ)$	$\mathrm{Mat}(N/4;ℍ)\oplus \mathrm{Mat}(N/4;ℍ)$	바일 스피너 (심플렉틱-마요라나-바일 스피너)	복소수 $N\times N$
+3	$\mathrm{Mat}(N;ℂ)$	$\mathrm{Mat}(N/2;ℍ)$	디랙 스피너 (심플렉틱-마요라나 스피너)	복소수 $N\times N$
+2	$\mathrm{Mat}(N;ℝ)$	$\mathrm{Mat}(N/2;ℂ)$	마요라나 스피너, 바일 스피너	실수 $N\times N$
+1	$\mathrm{Mat}(N;ℝ)\oplus \mathrm{Mat}(N;ℝ)$	$\mathrm{Mat}(N;ℝ)$	마요라나 스피너	실수 $N\times N$
±0	$\mathrm{Mat}(N;ℝ)$	$\mathrm{Mat}(N/2;ℝ)\oplus \mathrm{Mat}(N/2;ℝ)$	마요라나-바일 스피너	실수 $N\times N$
−1	$\mathrm{Mat}(N;ℂ)$	$\mathrm{Mat}(N;ℝ)$	마요라나 스피너	허수 $N\times N$
−2	$\mathrm{Mat}(N/2;ℍ)$	$\mathrm{Mat}(N/2;ℂ)$	마요라나 스피너, 바일 스피너	허수 $N\times N$
−3	$\mathrm{Mat}(N/2;ℍ)\oplus \mathrm{Mat}(N/2;ℍ)$	$\mathrm{Mat}(N/2;ℍ)$	디랙 스피너 (심플렉틱-마요라나 스피너)	복소수 $N\times N$

여기서

$N(s,t)=2^{\lfloor (s+t)/2\rfloor }$

는 디랙 스피너의 복소수 차원이며, $ℝ$, $ℂ$, $ℍ$는 각각 실수체, 복소수체, 사원수 대수를 뜻한다.

위 표에서,

• $\mathrm{Cl}(s,t)$의 계수 $\in \{ℝ,ℂ,ℍ\}$는 감마 행렬의 성질을 결정한다.
  • 계수가 $ℝ$인 경우 (즉, $s-t\in \{0,6,7\}$, 모든 감마 행렬이 실수 행렬이 되는, 핀 군 $\mathrm{Pin}(s,t)$의 실수 표현이 존재한다. 이를 마요라나 피너(영어: Majorana pinor)라고 한다.
  • 만약 계수가 $ℝ$가 아니지만, 부호수를 뒤집었을 때 계수가 $ℝ$라면 (즉, $\mathrm{Cl}(t,s)$가 마요라나 피너를 가질 경우), 모든 감마 행렬이 허수가 되는 표현이 존재한다. 이는 간혹 유사 마요라나 피너(영어: pseudo-Majorana pinor)라고 불리나, 이 용어는 일부 문헌에서 다른 뜻으로 쓰인다.
  • 계수가 $ℍ$일 경우, 만약 $2k$ 개의 디랙 스피너가 존재하며, 이 $2k$ 차원의 공간에 심플렉틱 구조를 부여할 때, 이에 대한 실수 조건을 가할 수 있다. 이는 $k$차원 사원수 벡터 공간 위의 표현을 이룬다. 이를 심플렉틱-마요라나 피너(영어: symplectic-Majorana pinor)라고 한다.
• ${\mathrm{Cl}}^{+}(s,t)$의 계수는 스피너의 성질을 결정한다.

성질

디랙 스피너의 실수 조건

$n$차원 시공간의 디랙 피너(영어: Dirac pinor)는 복소수 클리퍼드 대수

$\mathrm{Cl}(n;ℂ)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{Mat}(N;ℂ)& 2\nmid n\\ \mathrm{Mat}(N/2;ℂ)\oplus \mathrm{Mat}(N/2;ℂ)& 2\mid n\end{array}$

$N=2^{\lfloor n/2\rfloor }$

의 $N$차원 정의 표현이다. 만약 $n$이 짝수인 경우, 이는 두 개의 $N/2$차원 바일 피너(영어: Weyl pinor)로 분해된다.

복소수 클리퍼드 대수 $\mathrm{Cl}(n;ℂ)$는 에르미트 형식

$⟨-|-⟩$

을 가지며, 이는

$⟨{\gamma }^{\mu }\psi |\chi ⟩=\pm ⟨\psi |{\gamma }^{\mu }\chi ⟩$

를 만족시킨다. (여기서 $\pm$는 $n$의 값에만 의존한다.)

이제, 어떤 부호 $\tau \in \{\pm 1\}$를 골랐을 때, 디랙 피너의 공간에 대하여, 다음과 같은 복소수 쌍선형 형식 $𝖢$가 존재하는지 여부를 따질 수 있다.

$𝖢({\gamma }^{\mu }\psi ,\chi )=\pm 𝖢(\psi ,{\gamma }^{\mu }\chi )$

$𝖢(\psi ,\chi )=\pm 𝖢(\chi ,\psi )$ (복부호 동순이 아님)

이 경우, 만약 $𝖢$가 대칭일 경우 이는 디랙 피너 공간의 실수 구조를 정의하며, 만약 $𝖢$가 반대칭일 경우 이는 디랙 피너 공간의 사원수 구조를 정의한다.

만약 디랙 피너 공간 $V$가 실수 구조를 갖는다면,

$𝖢(\psi ,-)=⟨\psi |-⟩\in V^{*}$

를 만족시키는 디랙 피너를 마요라나 스피너라고 한다.

만약 디랙 피너 공간 $V$가 사원수 구조를 갖는다면,

$𝖢(\psi ,-)=⟨\psi |-⟩\in V^{*}$

를 만족시키는 디랙 피너는 0 밖에 없다. 그러나 임의의 심플렉틱 벡터 공간 $(W,\Omega )$에 대하여, $V\otimes W$ 위에서,

$𝖢(\psi ,-)=⟨\Omega \psi ,-⟩$

를 만족시키는 디랙 피너를 심플렉틱-마요라나 스피너라고 한다.

감마 행렬의 실수성

마요라나 스피너장의 경우, 감마 행렬이 순수하게 실수가 되게 잡을 수 있다. 유사 마요라나 스피너장의 경우, 감마 행렬이 순수하게 허수가 되게 잡을 수 있다.

물리학적 성질

마요라나 스피너의 실수성 조건에 따라, 마요라나 스피너의 양자는 스스로의 반입자를 이룬다.

만약 질량항이 0이라면, 마요라나 스피너는 바일 스피너로 표기될 수 있다. 즉, 바일 스피너장은 질량이 0인 마요라나 스피너장으로 여겨질 수 있다.

예

1차원

1차원에서는

$\mathrm{Cl}(1,0)=\mathrm{Mat}(1;ℂ)=ℂ$

$\mathrm{Cl}(0,1)=\mathrm{Mat}(1;ℝ)\oplus \mathrm{Mat}(1;ℝ)$

이다. 즉, 부호수가 $(s,t)=(1,0)$일 때는 마요라나 스피너가 존재하며, 이 경우 감마 행렬은

${\gamma }^0=\left(\begin{array}{c}1\end{array}\right)$

이다.

2차원

2차원에서는

$\mathrm{SO}(2;ℝ)\cong \mathrm{U}(1)$

$\mathrm{SO}(1,1;ℝ)\cong \mathrm{R}$

이며, 이 경우 클리퍼드 대수는

$\mathrm{Cl}(1,1)=\mathrm{Cl}(0,2)=\mathrm{Mat}(2;ℝ)$

$\mathrm{Cl}(2,0)=\mathrm{Mat}(1;ℍ)$

이다. 즉, 부호수 $(t,s)=(1,1)$일 때,

${\gamma }^0=\mathrm{i}{\sigma }^2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$

${\gamma }^1={\sigma }^3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

로 놓으면,

$\{{\gamma }^0,{\gamma }^0\}=-1$

$\{{\gamma }^1,{\gamma }^1\}=1$

$\{{\gamma }^0,{\gamma }^1\}=0$

이 되어 실수 감마 행렬을 이루며, 이는 실수 2차원 마요라나 스피너 위에 작용한다.

마찬가지로, 부호수 $(s,t)=(0,2)$일 때,

${\gamma }^1={\sigma }^1$

${\gamma }^2={\sigma }^3$

로 놓으면,

$\{{\gamma }^1,{\gamma }^1\}=\{{\gamma }^2,{\gamma }^2\}=1$

$\{{\gamma }^1,{\gamma }^2\}=0$

이 되며, 이는 실수 2차원 마요라나 스피너 위에 작용한다.

3차원

3차원에서, 클리퍼드 대수는 다음과 같다.

$\mathrm{Cl}(0,3)=ℍ\oplus ℍ$

$\mathrm{Cl}(1,2)=\mathrm{Mat}(2;ℂ)$

$\mathrm{Cl}(2,1)=\mathrm{Mat}(2;ℝ)\oplus \mathrm{Mat}(2;ℝ)$

$\mathrm{Cl}(3,0)=\mathrm{Mat}(2;ℂ)$

부호수 $(s,t)=(2,1)$일 때,

${\gamma }^0=\mathrm{i}{\sigma }^2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$

${\gamma }^1={\sigma }^1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

${\gamma }^2={\sigma }^3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

는 완전히 실수인 감마 행렬을 이룬다. 이는 (2,1)차원에 존재하는 마요라나 스피너 위에 작용한다. 이 표현의 존재는 동형 사상

$\mathrm{Spin}(2,1)\cong \mathrm{SL}(2;ℝ)$

에서 비롯한다.

마찬가지로, $(s,t)=(1,2)$일 때, 위 행렬들에 모두 $\mathrm{i}$를 곱하면, 이는 (2,1)차원의 유사 마요라나 스피너 위에 작용하는 완전 허수 감마 행렬을 이룬다.

$(t,s)=(0,3)$ 또는 $(3,0)$일 때는 순수 실수 감마 행렬이 존재할 수 없다. 이 경우, 파울리 행렬

${\sigma }^1,{\sigma }^2,{\sigma }^3$

은 부호수 (0,3)의 경우의 복소수 2차원 디랙 스피너 위에 작용한다.

다만, 부호수 $(s,t)=(0,3)$에서, 만약 짝수 개의 스피너가 존재할 경우, 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다. 이는 리 군의 동형 사상

$\mathrm{Spin}(3)\cong \mathrm{USp}(1;ℝ)=\mathrm{U}(1;ℍ)$

에서 유래한다. 즉, 부호수 $(s,t)=(0,3)$의 경우, 사원수 감마 행렬

${\gamma }^{-2}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{i}\end{array}\right)$

${\gamma }^{-1}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{j}\end{array}\right)$

${\gamma }^0=\left(\begin{array}{c}\mathrm{k}\end{array}\right)$

를 정의하면,

$\{{\gamma }^{-2},{\gamma }^{-2}\}=\{{\gamma }^{-1},{\gamma }^{-1}\}=\{{\gamma }^0,{\gamma }^0\}=-2$

$\{{\gamma }^{-2},{\gamma }^{-1}\}=\{{\gamma }^{-1},{\gamma }^0\}=\{{\gamma }^0,{\gamma }^{-2}\}=0$

이다.

4차원

4차원에서의 클리퍼드 대수는 다음과 같다.

$\mathrm{Cl}(4,0)\cong \mathrm{Cl}(0,4)\cong \mathrm{Mat}(2;ℍ)$

$\mathrm{Cl}(1,3)\cong \mathrm{Cl}(2,2)\cong \mathrm{Mat}(4;ℝ)$

$\mathrm{Cl}(3,1)\cong \mathrm{Mat}(2;ℍ)$

즉,

• 부호수 (0,4)일 때(유클리드 공간)는 마요라나 스피너가 존재하지 않는다.
• 부호수 (1,3)일 때(민코프스키 공간)는 마요라나 스피너가 존재한다.
• 부호수 (2,2)일 때는 마요라나-바일 스피너가 존재한다.

예를 들어, $(s,t)=(3,1)$차원일 때 (대부분 +부호 계량의 4차원 민코프스키 공간),

${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cc}0& 1_{2\times 2}\\ -1_{2\times 2}& 0\end{array}\right)=\mathrm{i}{\sigma }^2\otimes 1_{2\times 2}$

${\gamma }^1=\left(\begin{array}{cc}{1}_{2\times 2}& 0\\ 0& -1_{2\times 2}\end{array}\right)={\sigma }^3\otimes 1_{2\times 2}$

${\gamma }^2=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }^1\\ {\sigma }^1& 0\end{array}\right)={\sigma }^1\otimes {\sigma }^1$

${\gamma }^3=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }^3\\ {\sigma }^3& 0\end{array}\right)={\sigma }^1\otimes {\sigma }^3$

는 순수 실수 감마 행렬을 이룬다. 이 표현의 존재는 실수 리 대수의 동형

$𝔬(3,1)\cong \mathrm{sl}(2;ℂ)$

에서 유래한다. 여기서 $\otimes$는 두 2×2 행렬의 크로네커 곱이다.

부호수가 $(s,t)=(2,2)$일 때, 실수 리 대수 동형

$𝔬(2,2)\cong 𝔰𝔩(2,ℝ)\oplus 𝔰𝔩(2,ℝ)$

이 존재한다. 즉, 이 경우 실수 2차원의 왼쪽과 오른쪽 마요라나-바일 스피너가 존재한다. 이 경우,

${\gamma }^{-1}={\sigma }^1\otimes \mathrm{i}{\sigma }^2$

${\gamma }^0=\mathrm{i}{\sigma }^2\otimes 1_{2\times 2}$

${\gamma }^1={\sigma }^3\otimes 1_{2\times 2}$

${\gamma }^2={\sigma }^1\otimes {\sigma }^1$

를 적으면,

$\{{\gamma }^{-1},{\gamma }^{-1}\}=\{{\gamma }^0,{\gamma }^0\}=-2$

$\{{\gamma }^1,{\gamma }^1\}=\{{\gamma }^2,{\gamma }^2\}=2$

$\{{\gamma }^i,{\gamma }^j\}=0(i\ne j)$

이다.

부호수 $(s,t)=(4,0)$일 때,

$\mathrm{Spin}(4)\cong \mathrm{U}(1;ℍ)\times \mathrm{U}(1;ℍ)$

에 의하여 심플렉틱-마요라나 바일 스피너가 존재한다.

5차원

5차원에서 클리퍼드 대수는 다음과 같다.

$\mathrm{Cl}(3,2)\cong \mathrm{Mat}(4;ℝ)\oplus \mathrm{Mat}(4;ℝ)$

$\mathrm{Cl}(0,5)\cong \mathrm{Cl}(2,3)\cong \mathrm{Cl}(1,4)\cong \mathrm{Mat}(4;ℂ)$

$\mathrm{Cl}(1,4)\cong \mathrm{Cl}(2;ℂ)\oplus \mathrm{Cl}(2;ℂ)$

즉, 부호수가 $(s,t)=(3,2)$일 때는 실수 4차원의 마요라나 스피너가 존재한다. 이는 5차원 회전군의 특수한 동형

$\mathrm{Spin}(3,2)\cong \mathrm{Sp}(4;ℝ)$

에서 기인한다.

다른 부호수의 경우,

$\mathrm{Spin}(4,1)\cong \mathrm{USp}(2,2)$

$\mathrm{Spin}(5)\cong \mathrm{USp}(4)$

으로 인하여 복소수 4차원 디랙 스피너를 갖는다.

6차원

6차원에서 실수 클리퍼드 대수는 다음과 같다.

$\mathrm{Cl}(0,6)=\mathrm{Cl}(3,3)=\mathrm{Cl}(4,2)=\mathrm{Mat}(8;ℝ)$

$\mathrm{Cl}(1,5)=\mathrm{Cl}(2,4)=\mathrm{Cl}(6,0)=\mathrm{Mat}(4;ℍ)$

$\mathrm{Cl}(5,1)=\mathrm{Mat}(8;ℂ)$

즉, 부호수 $(s,t)=(0,6),(3,3),(4,2)$일 때는 8차원 마요라나 스피너가 존재한다. 이는 실수 리 대수의 동형

$𝔬(6;ℝ)\cong 𝔰𝔲(4;ℂ)$

$𝔬(3,3;ℝ)\cong 𝔰𝔩(4;ℝ)$

$𝔬(2,4)\cong \mathrm{su}(2,2)$

에서 기인한다. 특히, 부호수 (3,3)에서, 마요라나 스피너는 각각 실수 4차원의 왼쪽과 오른쪽 마요라나-바일 스피너로 분해되며, 이는 $\mathrm{SL}(4;ℝ)$의 정의 표현이다.

부호수 (1,5)의 경우, 실수 리 대수의 동형

$𝔰𝔩(1,5)\cong {𝔰𝔲}^{*}(4)=𝔰𝔩(2;ℍ)$

로 인하여 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다.

역사

에토레 마요라나의 이름을 땄다.

응용

물리학의 표준 모형에서, 중성미자를 제외한 모든 입자는 바일 스피너이다 (즉, 마요라나 질량항을 갖지 않는다). 다만, 중성미자는 마요라나 스피너를 이룰 가능성이 있다.

외부 링크

• “Majorana spinor” (영어). 《nLab》. 
• Davies, Rhys. “Construction of spinors in various dimensions” (PDF) (영어). 2021년 5월 7일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 1월 8일에 확인함. 
• O’Farrill, Figueroa M. “Majorana spinors” (PDF) (영어). 2017년 11월 5일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 1월 8일에 확인함. 
• Antonyan, Eduard (2003년 6월 10일). “Supergravities in various dimensions” (PDF) (영어). 2017년 8월 22일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 1월 8일에 확인함.