모노이드 범주

범주론에서 모노이드 범주(monoid範疇, 영어: monoidal category)는 동형 사상 아래 결합 법칙이 성립하고 동형 사상 아래 왼쪽·오른쪽 항등원이 존재하는 이항 연산을 갖는 범주이다. 모노이드 범주 속에는 모노이드 대상의 개념을 정의할 수 있다.

정의

모노이드 범주 $(𝒞,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 범주 $𝒞$
• 함자 $\otimes :𝒞\times 𝒞\to 𝒞$
• 대상 $I\in 𝒞$. 이를 항등원(恒等元, 영어: identity element)이라고 한다.
• 함자 $(-\otimes -)\otimes -:𝒞\times 𝒞\times 𝒞\to 𝒞$, $-\otimes (-\otimes -):𝒞\times 𝒞\times 𝒞\to 𝒞$ 사이의 자연 동형 $\alpha :(-\otimes -)\otimes -\Rightarrow -\otimes (-\otimes -)$. 그 성분을 ${\alpha }_{XYZ}:(X\otimes Y)\otimes Z\to X\otimes (Y\otimes Z)$로 쓰자. 이를 결합자(結合子, 영어: associator)라고 한다.
• 함자 $I\otimes :𝒞\to 𝒞$, ${\mathrm{Id}}_{𝒞}:𝒞\to 𝒞$ 사이의 자연 동형 $\lambda :I\otimes \Rightarrow {\mathrm{Id}}_{𝒞}$. 그 성분을 ${\lambda }_X:I\otimes X\to X$로 쓰자. 이를 왼쪽 항등자(왼쪽恒等子, 영어: left unitor)라고 한다.
• 함자 $\otimes I:𝒞\to 𝒞$, ${\mathrm{Id}}_{𝒞}:𝒞\to 𝒞$ 사이의 자연 동형 $\rho :\otimes I\Rightarrow {\mathrm{Id}}_{𝒞}$. 그 성분을 ${\rho }_X:X\otimes I\to X$로 쓰자. 이를 오른쪽 항등자(오른쪽恒等子, 영어: right unitor)라고 한다.

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• (결합자의 일관성) 임의의 대상 $X,Y,Z,W\in 𝒞$에 대하여, ${\alpha }_{X,Y,Z\otimes W}\circ {\alpha }_{X\otimes Y,Z,W}={\mathrm{id}}_X\otimes {\alpha }_{Y,Z,W}\circ {\alpha }_{X,Y\otimes Z,W}\circ {\alpha }_{X,Y,Z}\otimes {\mathrm{id}}_W$. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.

  $\begin{array}{ccccc}((X\otimes Y)\otimes Z)\otimes W& \stackrel{\alpha }{\to }& (X\otimes (Y\otimes Z))\otimes W& \stackrel{\alpha }{\to }& X\otimes ((Y\otimes Z)\otimes W)\\ & \alpha \searrow & & & \downarrow \alpha \\ & & (X\otimes Y)\otimes (Z\otimes W)& \underset{\alpha }{\overset{}{\to }}& X\otimes (Y\otimes (Z\otimes W))\end{array}$

• (항등원의 일관성) 임의의 대상 $X,Y\in 𝒞$에 대하여, ${\alpha }_{X,I,Y}\circ {\mathrm{id}}_X\otimes {\lambda }_Y={\rho }_X\otimes {\mathrm{id}}_Y$. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.

  $\begin{array}{ccc}(X\otimes I)\otimes Y& \stackrel{\alpha }{\to }& X\otimes (I\otimes Y)\\ & \rho \searrow & \downarrow \lambda \\ & & X\otimes Y\end{array}$

모노이드 함자

두 모노이드 범주 $(𝒞,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )$와 $({𝒞}^{\prime },{\otimes }^{\prime },I^{\prime },{\alpha }^{\prime },{\lambda }^{\prime },{\rho }^{\prime })$ 사이의 (강한) 모노이드 함자(monoid函子, 영어: (strong) monoidal functor) $(F,\xi ,{\xi }_0)$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 함자 $F:𝒞\to {𝒞}^{\prime }$
• 자연 동형 $\xi :F(-){\otimes }^{\prime }F(-)\to F(-\otimes -)$. 그 성분을 ${\xi }_{X,Y}:F(X){\otimes }^{\prime }F(Y)\to F(X\otimes Y)$로 쓰자.
• 동형 사상 ${\xi }_0:I^{\prime }\to F(I)$

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

• (결합자의 보존) 임의의 대상 $X,Y,Z\in 𝒞$에 대하여, $F{\alpha }_{X,Y,Z}\circ {\xi }_{X\otimes Y,Z}\circ ({\xi }_{X,Y}\otimes {\mathrm{id}}_{F(Z)})={\xi }_{X,Y\otimes Z}\circ ({\mathrm{id}}_{F(X)}\otimes {\xi }_{Y,Z})\circ \alpha {\text{'}}_{F(X),F(Y),F(Z)}$. 즉, 다음 그림이 가환 그림이다.

  $\begin{array}{ccccc}(F(X){\otimes }^{\prime }F(Y)){\otimes }^{\prime }F(Z)& \stackrel{\xi \otimes \mathrm{id}}{\to }& F(X\otimes Y){\otimes }^{\prime }F(Z)& \stackrel{\xi }{\to }& F((X\otimes Y)\otimes Z)\\ \downarrow {\alpha }^{\prime }& & & & \downarrow F\alpha \\ F(X){\otimes }^{\prime }(F(Y){\otimes }^{\prime }F(Z))& \underset{\mathrm{id}\otimes \xi }{\overset{}{\to }}& F(X){\otimes }^{\prime }F(Y\otimes Z)& \underset{\xi }{\overset{}{\to }}& F(X\otimes (Y\otimes Z))\end{array}$

• (왼쪽 항등자의 보존) 임의의 대상 $X\in 𝒞$에 대하여, $\lambda {\text{'}}_{F(X)}=F{\lambda }_X\circ {\xi }_{I,X}\circ ({\xi }_0\otimes {\mathrm{id}}_{F(X)})$. 즉, 다음 그림이 가환 그림이다.

  $\begin{array}{ccc}{I}^{\prime }{\otimes }^{\prime }F(X)& \stackrel{{\xi }_0\otimes \mathrm{id}}{\to }& F(I){\otimes }^{\prime }F(X)\\ {\lambda }^{\prime }\downarrow & & \downarrow \xi \\ F(X)& \stackrel{F\lambda }{\leftarrow }& F(I\otimes X)\end{array}$

• (오른쪽 항등자의 보존) 임의의 대상 $X\in 𝒞$에 대하여, $\rho {\text{'}}_{F(X)}=F{\rho }_X\circ {\xi }_{X,I}\circ ({\mathrm{id}}_{F(X)}\otimes {\xi }_0)$. 즉, 다음 그림이 가환 그림이다.

  $\begin{array}{ccc}F(X){\otimes }^{\prime }{I}^{\prime }& \stackrel{\mathrm{id}\otimes {\xi }_0}{\to }& F(X){\otimes }^{\prime }F(I)\\ {\rho }^{\prime }\downarrow & & \downarrow \xi \\ F(X)& \stackrel{F\rho }{\leftarrow }& F(X\otimes I)\end{array}$

자연 동형 $\xi$를 자연 변환으로 약화시키고, 동형 사상 ${\xi }_0$을 사상으로 약화시키면 약한 모노이드 함자(영어: lax monoidal functor)의 정의를 얻는다.

모노이드 자연 변환

두 모노이드 범주 $(𝒞,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )$와 $({𝒞}^{\prime },{\otimes }^{\prime },I^{\prime },{\alpha }^{\prime },{\lambda }^{\prime },{\rho }^{\prime })$ 사이의 두 모노이드 함자 $(F,\xi ,{\xi }_0)$와 $(G,\varphi ,{\varphi }_0)$ 사이의 모노이드 자연 변환(monoid自然變換, 영어: monoidal functor)은 다음 두 조건을 만족시키는 자연 변환 $\eta :F\Rightarrow G$이다.

• (모노이드 함자 구조의 보존) 임의의 대상 $X,Y\in 𝒞$에 대하여, ${\eta }_{X\otimes Y}\circ {\xi }_{X,Y}={\varphi }_{X,Y}\circ ({\eta }_X\otimes {\eta }_Y)$. 즉, 다음 그림이 가환한다.

  $\begin{array}{ccc}F(X)\otimes F(Y)& \stackrel{\xi }{\to }& F(X\otimes Y)\\ \eta \otimes \eta \downarrow & & \downarrow \eta \\ G(X)\otimes G(Y)& \underset{\varphi }{\overset{}{\to }}& G(X\otimes Y)\end{array}$

• (모노이드 함자 구조의 보존) ${\varphi }_0={\eta }_I\circ {\xi }_0$. 즉, 다음 그림이 가환한다.

  $\begin{array}{ccc}{I}^{\prime }& \stackrel{{\xi }_0}{\to }& F(I)\\ & {\varphi }_0\searrow & \downarrow {\eta }_I\\ & & G(I)\end{array}$

추가 구조와 종류

대칭 모노이드 범주

섬네일을 만드는 중 오류 발생:  이 부분의 본문은 대칭 모노이드 범주입니다.

모노이드 범주에서, 이항 연산은 일반적으로 교환 법칙을 만족시키지 않는다. 즉, 임의의 두 대상 $X,Y$에 대하여, $X\otimes Y\cong Y\otimes X$일 필요가 없다. 만약 이 조건을 추가한다면, 대칭 모노이드 범주의 개념을 얻는다.

닫힌 모노이드 범주

섬네일을 만드는 중 오류 발생:  이 부분의 본문은 닫힌 모노이드 범주입니다.

모노이드 범주에서, 모노이드 연산과 호환되는 일종의 지수 대상의 존재에 대한 조건을 추가하면, 닫힌 모노이드 범주의 개념을 얻는다.

예

(끝 대상을 포함한) 유한 곱이 존재하는 범주는 곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 이러한 모노이드 범주를 데카르트 모노이드 범주(영어: Cartesian monoidal category)라고 한다. 마찬가지로, (시작 대상을 포함한) 유한 쌍대곱이 존재하는 범주는 쌍대곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이루며, 이러한 모노이드 범주를 쌍대 데카르트 모노이드 범주(영어: co-Cartesian monoidal category)라고 한다.

범주	연산 $\otimes$	항등원 $I$	대칭 모노이드 범주?
집합의 범주 $\mathrm{Set}$	곱집합 $\times$	한원소 집합	예
집합의 범주 $\mathrm{Set}$	분리합집합 $\bigsqcup$	공집합	예
작은 범주의 범주 $\mathrm{Cat}$	곱범주	하나의 대상 및 하나의 사상을 가진 범주 $\mathrm{𝟙}$	예
가환환 $R$ 위의 가군의 범주 $R\text{-Mod}$	가군의 텐서곱 ${\otimes }_R$	1차 자유 가군 $R$	예
가환환 $R$ 위의 가군의 범주 $R\text{-Mod}$	가군의 직합 $\oplus$	자명 가군 $0$	예
아벨 군의 범주 $\mathrm{Ab}\simeq \mathbb{Z}\text{-Mod}$	아벨 군의 텐서곱 ${\otimes }_{\mathbb{Z}}$	무한 순환군 $\mathbb{Z}$	예
모노이드 $M$의 원소를 대상으로 하고, 모든 사상이 항등 사상인 작은 범주	모노이드 이항 연산	모노이드 항등원	아닐 수 있음

역사

손더스 매클레인이 1963년에 모노이드 범주 및 대칭 모노이드 범주의 개념을 정의하였고, 모노이드 범주가 만족시켜야 하는 (무한한 수의) 항등식 가환 그림들이 오직 5개의 가환 그림만으로 함의된다는 매클레인 일관성 정리(Mac Lane一貫性定理, 영어: Mac Lane coherence theorem)를 증명하였다. 조금 더 정확히 말하면, 모든 모노이드 범주는 결합자와 두 항등자가 모두 항등 자연 변환인 모노이드 범주와 (모노이드 범주로서) 동치이다. 이후 그레고리 맥스웰 켈리(영어: Gregory Maxwell Kelly, 1930~2007)가 매클레인의 5개의 가환 그림이 2개(오각형과 삼각형)의 가환 그림만으로 함의된다는 것을 보였다.^{:Theorem 3′}

외부 링크

• “Closed monoidal category” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Monoidal category” (영어). 《nLab》. 
• “Monoidal functor” (영어). 《nLab》. 
• “Oplax monoidal functor” (영어). 《nLab》. 
• “Bilax monoidal functor” (영어). 《nLab》. 
• “Frobenius monoidal functor” (영어). 《nLab》. 
• “Strict monoidal category” (영어). 《nLab》. 
• “Coherence theorem for monoidal categories” (영어). 《nLab》. 
• “Mac Lane's proof of the coherence theorem for monoidal categories” (영어). 《nLab》.