데카르트 닫힌 범주

범주론에서 데카르트 닫힌 범주(Descartes닫힌範疇, 영어: Cartesian closed category, 약자 CCC)는 사상 집합을 대상으로 간주할 수 있어, 정의역이 곱 대상인 사상을, 사상 집합을 공역으로 갖는 사상으로 치환할 수 있는 범주이다.

정의

지수 대상

모노이드 범주 $(𝒞,\otimes )$에서, 두 대상 $Y,Z\in 𝒞$의 지수 대상(영어: exponential object) $(Z^Y\in 𝒞,\mathrm{eval}:Z^Y\otimes Y\to Z)$은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 대상이다. 임의의 대상 $X\in 𝒞$ 및 사상 $g:X\otimes Y\to Z$에 대하여, 다음 그림을 가환하게 만드는 유일한 사상 $\lambda g:X\to Z^Y$이 존재한다.

$\begin{array}{c}X\otimes Y\\ \lambda g\otimes {\mathrm{id}}_Y\downarrow & \searrow g\\ Z^Y\otimes Y& \underset{\mathrm{eval}}{\overset{}{\to }}& Z\end{array}$

데카르트 닫힌 범주

모노이드 범주 $(𝒞,\otimes )$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 모노이드 범주를 닫힌 모노이드 범주(영어: closed monoidal category)라고 한다.

• 임의의 두 대상 $X,Y\in 𝒞$에 대하여, 지수 대상 $Y^X$가 존재한다.
• 모든 대상 $X\in 𝒞$에 대하여 다음과 같은 수반 함자가 존재한다.

  $(-\otimes X)⊣(-{)}^X$

곱 $\times$에 대한 닫힌 모노이드 범주를 데카르트 닫힌 범주라고 한다.

국소 데카르트 닫힌 범주

범주 $𝒞$ 위의 사상 $f:X\to Y$에 대하여, 두 조각 범주 사이에 자연스러운 함자

$f_{!}:𝒞/X\to 𝒞/Y$

$f_{!}:g\mapsto f\circ g$

가 존재한다. 만약 $𝒞$가 유한 완비 범주라면 밑 변환(영어: base change) 함자

$f^{*}:𝒞/Y\to 𝒞/X$

$f^{*}:(g:A\to Y)\mapsto (g_X:A{\times }_{Y}X\to X)$

의 왼쪽 수반 함자 $f_{!}$가 존재한다. $f_{!}$ 함자를 의존합(依存合, 영어: dependent sum)이라고 부른다.

유한 완비 범주 $𝒞$에서 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 유한 완비 범주를 국소 데카르트 닫힌 범주(영어: locally Cartesian closed category)라고 한다.

• 임의의 대상 $X\in 𝒞$에 대하여, 조각 범주 $𝒞/X$는 데카르트 닫힌 범주이다.
• 임의의 사상 $f:X\to Y$에 대하여, 조각 범주 사이의 함자 $f^{*}:𝒞/Y\to 𝒞/X$는 또한 오른쪽 수반 함자 $f_{*}:𝒞/X\to 𝒞/Y$를 갖는다.

끝 대상 $1\in 𝒞$에 대한 조각 범주 $𝒞/1$은 $𝒞$와 동형이므로, 모든 (유한 완비) 국소 데카르트 닫힌 범주는 데카르트 닫힌 범주이다.

국소 데카르트 닫힌 범주에서, 사상 $f:X\to Y$에 대하여 존재하는 오른쪽 수반 함자 $f_{*}:𝒞/X\to 𝒞/Y$는 의존곱(依存-, 영어: dependent product)이라고 한다. 대략, 사상 $\pi :E\to X$이 주어졌을 때 이를 $X$ 위의 "다발"로 해석하고, "밑공간" $X$ 위의 $Y$-점에 대하여 그 "올" $E_x$을 정의할 수 있다. 그렇다면, 의존곱은 이를 다발 $E\to X$의 "단면"들의 모임으로 대응시킨다. 이러한 해석은 물론 임의의 범주에서 적용되지 않지만, 집합의 범주나 다른 토포스 속에서 성립한다.

예

데카르트 닫힌 범주

데카르트 닫힌 범주의 예는 다음과 같다.

이름	대상	사상	곱	지수 대상
$\mathrm{Set}$	집합	함수	곱집합 $X\times Y$	함수의 집합 $Y^X=\mathrm{hom}(X,Y)$
$\mathrm{FinSet}$	유한 집합	유한 집합 사이의 함수	곱집합	함수의 집합 $Y^X=\mathrm{hom}(X,Y)$
${\mathrm{Set}}^G$ ($G$는 하나의 대상을 갖는 범주로 여긴 군)	$G$의 작용을 갖는 집합	$G$의 작용과 호환되는 함수	(자연스러운 곱 작용을 갖춘) 곱집합 $X\times Y$	$G$의 작용과 호환되는 함수의 집합 $Y^X=\mathrm{hom}(X,Y)$. ($f:X\to Y$에 대하여, $(g\cdot f)(x)=g\cdot (f(g^{-1}\cdot x)$)
${\mathrm{Set}}^{𝒞}$ ($𝒞$는 작은 범주)	함자 $𝒞\to \mathrm{Set}$	자연 변환	공역에서의 곱 $F\times G:(C\in 𝒞)\mapsto F(C)\times G(C)$	$F,G:𝒞\to \mathrm{Set}$ 및 $C\in 𝒞$에 대하여, $G^F(C)$는 자연 변환 $(C\times -)\times F⟹G$의 집합
조각 범주 $\mathrm{Set}/A$ ($A$는 집합)	함수 $X\to A$	$f:X\to A$, $g\in Y\to A$에 대하여 $\mathrm{hom}(f,g)=\{h:x=g\circ h\}$	$f:X\to A$ 및 $g\in Y\to A$에 대하여, 당김 $X{\times }_{A}Y=\{(x,y)\in X\times Y:f(x)=g(y)\}$	$f:X\to A$ 및 $g\in Y\to A$에 대하여, $\{(a,h):a\in A,h:f^{-1}(a)\to g^{-1}(a)\}$
$\mathrm{Cat}$	작은 범주	함자	곱 범주 (대상·사상이 각각 대상·사상의 순서쌍)	함자 범주 ${𝒟}^{𝒞}$ (대상은 함자, 사상은 자연 변환)
$\mathrm{CGHaus}$	콤팩트 생성(영어: compactly generated) 하우스도르프 공간	콤팩트 생성 하우스도르프 공간 사이의 연속함수	$k(X{\times }_{\mathrm{Top}}Y)$ ($X{\times }_{\mathrm{Top}}Y$는 $\mathrm{Top}$에서의 곱위상, $k(-)$는 콤팩트 생성화)	$Y^X=k(𝒞(X,Y))$ ($𝒞(X,Y)$는 콤팩트-열린집합 위상을 갖춘 연속함수들의 공간)

일반적인 위상 공간의 범주 $\mathrm{Top}$에서는 곱 (=곱위상을 갖춘 곱공간) 및 끝 대상 (=한원소 공간)이 존재하지만, 지수 대상은 일반적으로 존재하지 않는다. (그러나 이 위에는 독특한 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조가 존재한다.)

닫힌 모노이드 범주

체 $K$ 위의 벡터 공간의 범주 $K\text{-Vect}$에서는 곱 (=직합 $V\oplus W$) 및 끝 대상 (=0차원 벡터 공간)이 존재하지만, 지수 대상은 존재하지 않는다. 그러나 텐서곱($V\otimes W$)에 대해서는 지수 대상과 유사한 대상 (선형 변환의 집합 $ℒ(V,W)$)이 존재한다. 즉, 이는 닫힌 대칭 모노이드 범주를 이룬다.

아벨 군의 범주 $\mathrm{Ab}$는 아벨 군의 텐서곱에 대하여 닫힌 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 두 아벨 군 사이의 군 준동형들의 집합은 점별 합에 대하여 자연스럽게 아벨 군을 이룬다.

모든 위상 공간의 범주 $\mathrm{Top}$ 위에는 유일한 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조가 존재한다.^{:291, Corollary 2.4:62, Remark 6.1.2} 이 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조에서,

• 대칭 이항 연산은 집합으로서 곱집합이지만, 이 위에는 곱공간과 현저히 다른 위상이 주어진다. (이는 지수 대상의 위상으로부터 유일하게 결정된다.)
• 항등원은 한원소 공간이다.
• 지수 대상은 집합으로서 연속 함수의 집합이지만, 이 위에는 콤팩트-열린 집합 위상 대신 점별 수렴 위상이 주어진다.

이 때문에 이 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조는 위상수학에서 그리 유용하지 않다.^{:62, Remark 6.1.2}

국소 데카르트 닫힌 범주

모든 토포스와 모든 준토포스는 국소 데카르트 닫힌 범주이다. 토포스의 조각 범주 역시 토포스이며, 토포스 $𝒯$ 속의 사상 $f:X\to Y$에 의하여 수반 함자

$f_{!}⊣f^{*}⊣f_{*}$

가 유도된다. 이는 토포스의 본질적 기하학적 사상을 이룬다.

특히, 집합과 함수의 토포스 $\mathrm{Set}$는 국소 데카르트 범주이다. 집합의 범주에서, 함수 $f:X\to I$에 대한 의존곱은 함수 $\pi :E\to X$를

$\underset{i\in I}{⨆}{\Gamma }_{X_i}(E_i)$

로 대응시킨다. 여기서

$X_i=f^{-1}(i)$

$E_i=(f\circ \pi {)}^{-1}(i)$

이며,

${\Gamma }_{X_i}(E_i)=\{f\in E^{X_i}:\mathrm{\forall }x\in X_i:\pi (f(x))=x\}$

는 "단면 집합"이다.

특히, 만약 $I$가 끝 대상인 한원소 집합이라면, $f:X\to \{\bullet \}$에 대한 의존곱은 $\pi :E\to X$를 단면 집합 ${\Gamma }_X(E)$으로 대응시킨다.

같이 보기

• 커링

참고 문헌

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》 2판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Cartesian-closed category” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Closed monoidal category” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Closed category” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Cartesian closed category” (영어). 《nLab》. 
• “Locally cartesian closed category” (영어). 《nLab》. 
• “Cocartesian closed category” (영어). 《nLab》. 
• “Dependent product” (영어). 《nLab》. 
• “Closed category” (영어). 《nLab》. 
• “Closed monoidal category” (영어). 《nLab》. 
• “Internal hom” (영어). 《nLab》. 
• “Exponential object” (영어). 《nLab》. 
• Armstrong, John (2007년 8월 1일). “Closed categories” (영어). 《The Unapologetic Mathematician》. 
• Armstrong, John (2007년 8월 23일). “Internal hom functors” (영어). 《The Unapologetic Mathematician》.