무한곱

해석학에서 무한곱(無限-, 영어: infinite product)은 무한 수열의 부분 유한곱의 극한이다.

정의

복소수 수열 $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\subset ℂ$의 무한곱

$\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=a_0{a}_1{a}_2\cdots$

은 다음과 같은 극한이다.

$\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{k=0}^n{a}_k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_0{a}_1\cdots a_n$

임의의 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, $\prod _{k=0}^n{a}_k=a_0{a}_1\cdots a_n$은 무한곱의 $n$번째 부분곱(部分-, 영어: partial product)이다. 즉, 무한곱은 부분곱의 극한이다. 만약 $a_n=0$인 $n\in \mathbb{N}$이 존재한다면, 부분곱은 $n$번째 이후부터 0이며, 따라서 무한곱을 정의하는 극한은 0이다. 만약 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|a_n|<1$이라면, 부분곱은 마찬가지로 0으로 수렴한다. 더 흥미로운 경우에 집중하기 위하여, 무한곱의 수렴성은 부분곱이 0이 아닌 수로 수렴할 것을 요구한다. 즉, 만약 부분곱의 극한이 존재하며, 0이 아니라면, 무한곱 $\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$이 수렴한다고 한다. 반대로 만약 부분곱의 극한이 0이거나 존재하지 않는다면, 무한곱 $\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$이 발산한다고 한다.

성질

만약 무한곱 $\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$이 수렴한다면, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=1$이다.

복소수 수열 $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\subset ℂ$에 대하여, 만약 임의의 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 $|a_n|<1$이라면, 다음 두 조건이 서로 동치다.

• 무한곱 $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+a_n)$은 (0이 아닌 값으로) 수렴한다.
• 급수 $\sum _{n=N}^{\mathrm{\infty }}\ln (1+a_n)$는 수렴한다.

복소수 수열 $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\subset ℂ$에 대하여, 임의의 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 $|a_n|<1$이며, 또한 다음 두 조건 가운데 적어도 하나가 성립한다고 하자.

• (양의 실수의 수열) 임의의 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, $a_n\in {ℝ}^{+}$^{:219, Theorem 3}
• (르베그 2-수렴) $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}|a_n{|}^2<\mathrm{\infty }$^{:225, Supplementary theorem}

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 무한곱 $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+a_n)$은 (0이 아닌 값으로) 수렴한다.
• 급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$는 수렴한다.

일반적으로, 무한곱 $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+a_n)$이 수렴하더라도 급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$는 발산할 수 있다.

예

월리스 곱

다음과 같은 무한곱을 월리스 곱(영어: Wallis product)이라고 한다.

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4n^2}{4n^2-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)}^2\frac{1}{2n+1}=\frac{\pi }{2}$

이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 다음과 같은 적분 공식을 사용하자.

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\sin }^{2n}x\mathrm{d}x=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi }{2}$

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\sin }^{2n+1}x\mathrm{d}x=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}(n\in \{1,2,\dots \})$

임의의 $x\in (0,\pi /2)$ 및 $n\in \{1,2,\dots \}$에 대하여 ${\sin }^{2n+1}x<{\sin }^{2n}x<{\sin }^{2n-1}x$이므로, 다음이 성립한다.

$\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\sin }^{2n+1}x\mathrm{d}x<\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\sin }^{2n}x\mathrm{d}x<\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\sin }^{2n-1}x\mathrm{d}x$

여기에 위와 같은 공식을 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.

${\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)}^2\frac{1}{2n+1}<\frac{\pi }{2}<{\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)}^2\frac{1}{2n}$

다음과 같은 부등식에 따라 양 끝의 식은 $\pi /2$로 수렴하므로, 월리스 공식이 증명된다.

$\begin{array}{cc}0& <{\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)}^2\frac{1}{2n}-{\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)}^2\frac{1}{2n+1}\\ & ={\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)}^2\frac{1}{2n(2n+1)}\\ & <\frac{1}{2n}\frac{\pi }{2}\end{array}$

리만 제타 함수

파일:Icons8 flat search.svg 이 부분의 본문은 리만 제타 함수입니다.

리만 제타 함수의 $s>1$에서의 값은 다음과 같은 수렴하는 급수와 같다.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

여기에 $(1-1/2^s)$를 곱하면 홀수에 대한 합이 남는다.

$(1-\frac{1}{2^s})\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n{)}^s}=\sum _{2\nmid n}\frac{1}{n^s}$

다시 $(1-1/3^s)$를 곱하면 2나 3의 배수가 아닌 정수에 대한 합만 남는다.

$(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\sum _{2\nmid n}\frac{1}{n^s}-\sum _{2\nmid n}\frac{1}{(3n{)}^s}=\sum _{2,3\nmid n}\frac{1}{n^s}$

이를 모든 소수 $p_1=2,p_2=3,\dots$에 대하여 반복하면 우변은 결국 1이 된다.

$\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{p_k^s})\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=1$

즉, $s>1$에서의 리만 제타 함수 값은 무한곱으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-1/p_k^s}$

같이 보기

• 삼각 함수 항등식
• 연분수
• 급수 (수학)
• 오일러의 오각수 정리

외부 링크

• “Infinite product” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Infinite product” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “A divergent sereis for which $\prod (1+a_n)$ converges” (영어). 《Mathematics Stack Exchange》.