바이어슈트라스 치환

미적분학에서 바이어슈트라스 치환(-置換, 영어: Weierstrass substitution) 또는 탄젠트 반각 치환(-半角置換, 영어: tangent half-angle substitution) 또는 t-치환(-置換, 영어: t-substitution)은 반각의 탄젠트를 새로운 변수로 대신하는 치환 적분이다. 삼각 함수의 유리 함수를 적분하는 데 사용된다.

정의

모든 삼각 함수의 유리 함수는 어떤 2변수 유리 함수 $R(u,v)$에 대하여 $R(\sin x,\cos x)$와 같은 꼴로 나타낼 수 있다. 바이어슈트라스 치환은 이러한 함수를 적분하는 데 사용되는 다음과 같은 치환 적분 기법이다.

$\tan \frac{x}{2}=t$

이 경우 다음이 성립한다.

$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},x=2\arctan t,\mathrm{d}x=\frac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t$

따라서 $R(\sin x,\cos x)$의 적분은 다음과 같은 유리 함수 적분으로 변한다.^:263-264:351

$\int R(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x=\int R(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2})\frac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t$

모든 유리 함수의 원함수는 초등 함수이므로, 모든 삼각 함수의 유리 함수의 원함수 역시 초등 함수이다.^:264

다른 방법

바이어슈트라스 치환은 때로 복잡한 계산을 가져온다. 다음과 같은 몇 가지 특수한 꼴의 경우에는 보다 더 간편한 기법이 존재한다.^:264-265:351

• 만약 $R(-u,v)=-R(u,v)$라면, 이는 항상 $R(u,v)=u{R}_1(u^2,v)$ 꼴로 나타낼 수 있으며, 이 경우 $\cos x=t$와 같이 치환하는 것이 좋다.

  $\int R(\sin x,\cos x)dx=\int \sin x{R}_1({\sin }^{2}x,\cos x)dx=-\int R_1(1-t^2,t)dt$

• 만약 $R(u,-v)=-R(u,v)$라면, 이는 $R(u,v)=v{R}_1(u,v^2)$ 꼴로 나타낼 수 있으며, 이 경우 $\sin x=t$와 같이 치환하는 것이 좋다.

  $\int R(\sin x,\cos x)dx=\int \cos x{R}_1(\sin x,{\cos }^{2}x)dx=\int R_1(t,1-t^2)dt$

• 만약 $R(-u,-v)=R(u,v)$라면, $R(u,v)=R_1(u/v,v^2)$ 꼴이므로, 이 경우 $\tan x=t$와 같이 치환하는 것이 좋다.

  $\int R(\sin x,\cos x)dx=\int R_1(\tan x,{\cos }^{2}x)dx=\int R_1(t,\frac{1}{1+t^2})\frac{1}{1+t^2}dt$

사실 모든 유리 함수는 각각 위와 같은 성질을 만족시키는 세 유리 함수의 합으로 나타낼 수 있다.

$R(u,v)=\frac{R(u,v)-R(-u,v)}{2}+\frac{R(-u,v)-R(-u,-v)}{2}+\frac{R(-u,-v)+R(u,v)}{2}$

쌍곡선 함수의 경우

바이어슈트라스 치환의 쌍곡선 함수 버전인 쌍곡 탄젠트 반변수 치환(雙曲-半變數置換, 영어: hyperbolic tangent half-argument substitution 또는 쌍곡 t-치환(雙曲-置換, 영어: hyperbolic t-substitution)은 쌍곡선 함수의 유리 함수 $R(\sinh x,\cosh x)$를 적분하는 데 사용되며, 이는 다음과 같다.^{:185, Exercise 13}

$\tanh \frac{x}{2}=t$

이 경우 다음이 성립한다.

$\sinh x=\frac{2t}{1-t^2},\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2},x=2{\tanh }^{-1}t,\mathrm{d}x=\frac{2}{1-t^2}\mathrm{d}t$

따라서 $R(\sinh x,\cosh x)$의 적분은 다음과 같은 유리 함수 적분으로 변한다.^:29

$\int R(\sinh x,\cosh x)\mathrm{d}x=\int R(\frac{2t}{1-t^2},\frac{1+t^2}{1-t^2})\frac{2}{1-t^2}\mathrm{d}t$

따라서 모든 쌍곡선 함수의 유리 함수의 원함수는 초등 함수이다.

예

다음과 같은 적분들을 생각하자.^{:352, 例6.3.8, (3), (4):265, 例6.3.4}

$\int \frac{\sin x}{1+\sin x}\mathrm{d}x,\int \frac{\mathrm{d}x}{5+3\sin x+4\cos x},\int \frac{{\cos }^{3}x}{1+{\sin }^{2}x}\mathrm{d}x$

첫째 적분은 바이어슈트라스 치환 $\tan (x/2)=t$을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

$\begin{array}{cc}\int \frac{\sin x}{1+\sin x}\mathrm{d}x& =\int \frac{4t}{(1+t{)}^2(1+t^2)}\mathrm{d}t\\ & =\int (-\frac{2}{(1+t{)}^2}+\frac{2}{1+t^2})\mathrm{d}t\\ & =\frac{2}{1+t}+2\arctan t+C\\ & =\frac{2}{1+\tan (x/2)}+x+C\end{array}$

둘째 적분 역시 바이어슈트라스 치환 $\tan (x/2)=t$을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

$\begin{array}{cc}\int \frac{\mathrm{d}x}{5+3\sin x+4\cos x}& =\int \frac{2}{5(1+t^2)+6t+4(1-t^2)}\mathrm{d}t\\ & =\int \frac{2}{(3+t{)}^2}\mathrm{d}t\\ & =-\frac{2}{3+t}+C=-\frac{2}{3+\tan (x/2)}+C\end{array}$

셋째 적분은 $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$를 만족시키므로, 바이어슈트라스 치환을 사용할 필요가 없다. 이는 치환 $\sin x=t$을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

$\begin{array}{cc}\int \frac{{\cos }^{3}x}{1+{\sin }^{2}x}\mathrm{d}x& =\int \frac{1-t^2}{1+t^2}\mathrm{d}t\\ & =\int (\frac{2}{1+t^2}-1)\mathrm{d}t\\ & =2\arctan t-t+C\\ & =2\arctan \sin x-\sin x+C\end{array}$

쌍곡선 함수의 경우의 예

다음과 같은 적분을 생각하자.^{:29, 例4}

$\int \frac{\mathrm{d}x}{1+2\cosh x}$

이는 쌍곡 탄젠트 반변수 치환 $\tanh (x/2)=t$를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

$\begin{array}{cc}\int \frac{\mathrm{d}x}{1+2\cosh x}& =\int \frac{2}{1-t^2+2(1+t^2)}\mathrm{d}t\\ & =\int \frac{2}{3+t^2}\mathrm{d}t\\ & =\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \frac{t}{\sqrt{3}}+C\\ & =\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \frac{\tanh (x/2)}{\sqrt{3}}+C\end{array}$

같이 보기

• 삼각 치환
• 오일러 치환

외부 링크

• 이철희. “바이어슈트라스 치환”. 《수학노트》. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Weierstrass substitution” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Weierstrass substitution formulas” (영어). 《PlanetMath》.