바일 방정식

장방정식

스핀 0	클라인-고든 방정식
스핀 ½	디랙 방정식 · 바일 방정식 · 마요라나 방정식
스핀 1	맥스웰 방정식 · 프로카 방정식
스핀 1½	라리타-슈윙거 방정식
스핀 2	아인슈타인 방정식

양자장론에서 바일 방정식(영어: Weyl equation)은 질량이 없는 페르미온을 나타내는 파동 방정식이다. 헤르만 바일의 이름을 땄다.

정의

바일 방정식은 다음과 같다.

${\sigma }^{\mu }{\partial }_{\mu }\psi =0$

이는 명백하게 SI 단위계를 따른다:

$I_2\frac{1}{c}\frac{\partial \psi }{\partial t}+{\sigma }_x\frac{\partial \psi }{\partial x}+{\sigma }_y\frac{\partial \psi }{\partial y}+{\sigma }_z\frac{\partial \psi }{\partial z}=0$

여기서,

${\sigma }_{\mu }=({\sigma }_0,{\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3)=(I_2,{\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z)$

는 성분이 μ = 0에 대해 2 × 2 단위행렬이고 μ = 1,2,3에 대해 파울리 행렬인 4차원 벡터이며, ψ는 바일 스피너의 파동함수이다.

바일 스피너

요소 ψ_L 와 ψ_R는 상대적으로 각각에 대해 오른쪽과 왼쪽으로 다루어지는 파울리 행렬이다. 두 개의 요소가 가진 형태는

$\psi =\left(\begin{array}{c}{\psi }_1\\ {\psi }_2\end{array}\right)=\chi e^{-i(𝐤\cdot 𝐫-\omega t)}=\chi e^{-i(𝐩\cdot 𝐫-Et)/\hslash }$이며

이때

$\chi =\left(\begin{array}{c}{\chi }_1\\ {\chi }_2\end{array}\right)$

가 연속적인 2성분 스피너이다.

입자들이 질량이 없기 때문에 운동량 p의 크기는 직접적으로 파수 벡터 k에 연관된다.(이는 드 브로이 관계로 인해 가능하다.)

$|𝐩|=\hslash |𝐤|=\hslash \omega /c\to |𝐤|=\omega /c$

이 방정식은 오른손 및 왼손 스피너의 관점에서 다음과 같이 쓸 수 있다．

$\begin{array}{cc}& {\sigma }^{\mu }{\partial }_{\mu }{\psi }_R=0\\ & {\overline{\sigma }}^{\mu }{\partial }_{\mu }{\psi }_L=0\end{array}$

헬리시티

파일:Icons8 flat search.svg 이 부분의 본문은 헬리시티입니다.

손지기 성분은 입자들의 헬리시티 λ에 일치한다.(J는 각운동량으로 직선적 운동량 P위에 있다)

$𝐩\cdot 𝐉|𝐩,\lambda ⟩=\lambda |𝐩||𝐩,\lambda ⟩$

여기서 $\lambda =\pm 1/2$이다.

유도

이는 민코프스키 시공간에서의 대칭성으로 유도된다.

각주

• Quantum Field Theory, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8
• Particle Physics (2nd Edition), B.R. Martin, G. Shaw, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-470-03294-7
• Supersymmetry P. Labelle, Demystified, McGraw-Hill (USA), 2010, ISBN 978-0-07-163641-4
• The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1

같이 보기

• 디락 방정식 (질량이 있는 스핀 1/2 입자들을 설명한다.)
• 각운동량
• 운동량
• 스핀

외부 링크

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