반사 (기하학)

기하학에서 반사(反射, 영어: reflection) 또는 대칭 이동(對稱 移動)은 유클리드 공간 위의 점을 어떤 초평면에 대한 ‘거울상’으로 변환시키는 함수이다.

정의

유클리드 공간 ${ℝ}^n$의 $(n-1)$차원 부분 아핀 공간 $\mathrm{Fix}(R)\subset {ℝ}^n$을 반사 초평면으로 하는 반사

$R:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$

는 다음과 같다.

• 임의의 $𝐱\in {ℝ}^n$에 대하여, $R(𝐱)$는 $\mathrm{Fix}(R)$가 선분 $(𝐱,R(𝐱))$의 수직 이등분 초평면이 되게 만드는 유일한 점이다.

반사 초평면의 점 ${𝐱}_0$ 및 단위 법벡터 $𝐧$이 주어졌을 때, 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$R(𝐱)=𝐱-2((𝐱-{𝐱}_0)\cdot 𝐧)𝐧$

성질

모든 반사는 유클리드 공간의 등거리 변환이며, 방향을 보존하지 않는다. 특히, 모든 반사는 아핀 변환이며, 선형 변환 성분의 행렬식은 −1이다. 원점을 지나는 반사 초평면을 갖는 반사는 선형 변환이다. 모든 반사는 대합이다. 즉, 스스로를 두 번 합성하면 항등 함수를 얻는다.

고정점

반사의 고정점의 집합은 반사 초평면이다.

연산에 대한 닫힘

반사 $R$의 등거리 변환 $I$에 의한 켤레 역시 반사이며, 그 반사 초평면은 다음과 같다.

$\mathrm{Fix}(I\circ R\circ I^{-1})=I(\mathrm{Fix}(R))$

행렬 표현

반사의 선형 변환 성분은 적절한 기저에 대하여 다음과 같은 행렬 표현을 갖는다.

$\left(\begin{array}{c}1\\ & \ddots \\ & & 1\\ & & & -1\end{array}\right)$

합성

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평면 위에서, 평행하는 두 직선을 축으로 하여 연이어 반사하면 평행 이동을 얻는다.

섬네일을 만드는 중 오류 발생:

평면 위에서, 교차하는 두 직선을 축으로 하여 연이어 반사하면 회전을 얻는다.

평행하는 반사 초평면을 갖는 두 반사 $R$, $R^{\prime }$의 합성 $R^{\prime }\circ R$은 평행 이동이며, ($R$의 반사 초평면에서 $R^{\prime }$의 반사 초평면을 향하는) 공통 법벡터의 방향으로 반사 초평면 사이 거리의 2배만큼 평행 이동한다. 즉, 만약

$\mathrm{Fix}(R)=\{𝐱\in {ℝ}^n:(𝐱-{𝐱}_0)\cdot 𝐧=0\}$

$\mathrm{Fix}(R^{\prime })=\{𝐱\in {ℝ}^n:(𝐱-{{𝐱}_0}^{\prime })\cdot 𝐧=0\}$

$\Vert 𝐧\Vert =1$

이라면, $R^{\prime }\circ R$의 평행 이동 벡터는

$2({{𝐱}_0}^{\prime }-{𝐱}_0)\cdot 𝐧$

이다. 반대로, 모든 평행 이동은 이러한 두 반사의 합성으로 나타낼 수 있다.

교차하는 반사 초평면을 갖는 두 반사 $R$, $R^{\prime }$의 합성 $R^{\prime }\circ R$은 회전이다. 구체적으로, 이 회전은 두 반사 초평면의 교집합을 고정점 집합으로 가지며, 고정점 집합과 수직인 각 평면으로 제한되었을 때 두 반사 초평면 사이의 각의 2배만큼 ($R$에서 $R^{\prime }$을 향하여) 회전시킨다. 즉, 만약

$\mathrm{Fix}(R)=\{𝐱\in {ℝ}^n:(𝐱-{𝐱}_0)\cdot 𝐧=0\}$

$\mathrm{Fix}(R^{\prime })=\{𝐱\in {ℝ}^n:(𝐱-{{𝐱}_0}^{\prime })\cdot {𝐧}^{\prime }=0\}$

$\Vert 𝐧\Vert =\Vert {𝐧}^{\prime }\Vert =1$

$𝐧\times {𝐧}^{\prime }\ne 0$

이라면, $R^{\prime }\circ R$의 고정점 집합은

$\mathrm{Fix}(R)\cap \mathrm{Fix}(R^{\prime })$

이다. 또한, 평면 ${𝐱}_0+(\mathrm{Fix}(R)\cap \mathrm{Fix}(R^{\prime }){)}^{\perp }$ (${𝐱}_0\in \mathrm{Fix}(R)\cap \mathrm{Fix}(R^{\prime })$)로 제한되었을 때, 회전

$R^{\prime }\circ R\upharpoonright ({𝐱}_0+(\mathrm{Fix}(R)\cap \mathrm{Fix}(R^{\prime }){)}^{\perp })$

의 회전 중심은 ${𝐱}_0$이며, 회전 각도는

$2\arccos (𝐧\cdot {𝐧}^{\prime })$

이다. 반대로, 3차원 이하 유클리드 공간 위의 회전은 두 반사의 합성으로 나타낼 수 있다. 그러나 이는 4차원부터는 성립하지 않는다.

사원수 표현

3차원 벡터를 순허수 사원수로 여겼을 때, ${ℝ}^3$ 위의 반사는 사원수 곱셈을 통해 간단하게 나타낼 수 있다. 구체적으로, 점 ${𝐱}_0$을 지나며 단위 법벡터 $𝐧$을 갖는 초평면 $\mathrm{Fix}(R)\subset {ℝ}^3$에 대한 반사는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$R(𝐱)={𝐱}_0+𝐧(𝐱-{𝐱}_0)𝐧$

여기서 우변의 곱셈은 사원수의 곱셈이다.

예

2차원 유클리드 공간 ${ℝ}^2$ 위의 x축 및 y축에 대한 반사는 각각 다음과 같다.

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ -y\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x\\ y\end{array}\right)$

같이 보기

• 덧셈 역원
• 하우스홀더 변환
• 반전기하학

외부 링크

• “Reflection” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Reflection” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.