아핀 변환

기하학에서 아핀 변환(-變換, 영어: affine transformation)은 아핀 기하학적 성질들을 보존하는 두 아핀 공간 사이의 함수이다.^[1]^[2]^[3]

정의

반아핀 변환

체 $K$ 위의 두 벡터 공간 $V$ , $V^{'}$ 및 자기 동형 사상 $σ : K \to K$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $σ$ 에 대한 반선형 변환(半線型變換, 영어: semilinear transformation)은 다음 조건을 만족시키는 함수 $T : V \to V^{'}$ 이다.

T (k u + v) = σ (k) T (u) + T (v) \forall u, v \in V, k \in K

체 $K$ 위의 두 아핀 공간 $(A, V (A))$ , $(A^{'}, V (A^{'}))$ 및 자기 동형 사상 $σ : K \to K$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 $F : A \to A^{'}$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 $σ$ 에 대한 반아핀 변환(半-變換, 영어: semiaffine transformation)이라고 한다.

어떤 점 $a \in A$ 에 대하여, $v \mapsto F (a + v) - F (a)$ 는 $σ$ 에 대한 반선형 변환 $V (A) \to V (A^{'})$ 이다.
모든 점 $a \in A$ 에 대하여, $v \mapsto F (a + v) - F (a)$ 는 $σ$ 에 대한 반선형 변환 $V (A) \to V (A^{'})$ 이다.

증명:

만약

T_{a} : V (A) \to V (A^{'})

T_{a} : v \mapsto F (a + v) - F (a)

가 반선형 변환이라면, 임의의 $b \in A$ 및 $v \in V (A)$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

\begin{matrix} T_{b} (v) & = F (b + v) - F (b) \\ = (F (b + v) - F (a)) - (F (b) - F (a)) \\ = T_{a} ((b - a) + v) - T_{a} (b - a) \\ = T_{a} (v) \end{matrix}

즉, $T_{a}$ 는 $a \in A$ 의 선택과 무관하다.

반아핀 변환 $F$ 로 유도된 반선형 변환

T (F) : V (A) \to V (A^{'})

T (F) : v \mapsto F (a + v) - F (a)

는 점 $a \in A$ 의 선택과 무관하며, 임의의 $a, b \in A$ 에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

F (b) = F (a) + T (F) (b - a)

벡터 표기법을 사용하면 이는 다음과 같다.

\vec{F} (\vec{a b}) = \vec{F (a) F (b)}

여기서

T (F) = \vec{F}

b - a = \vec{a b}

이다.

아핀 변환

선형 변환은 항등 함수 $σ = {id}_{K}$ 에 대한 반선형 변환이다.

아핀 변환은 항등 함수 $σ = {id}_{K}$ 에 대한 반아핀 변환이다. 즉, $T (F)$ 가 선형 변환인 반아핀 변환이다.

성질

모든 반아핀 변환은 공선점과 평행 부분 아핀 공간을 보존한다. 모든 아핀 변환은 무게 중심를 보존하며, 특히 중점을 보존한다.

대수적 성질

체 $K$ 위의 아핀 공간 $(A, V (A))$ 와 벡터 공간 $V^{'}$ 사이의 아핀 변환의 집합 ${Hom}_{K} (A, V^{'})$ 은 자연스럽게 벡터 공간을 이룬다. 체 $K$ 위의 두 아핀 공간 $(A, V (A))$ , $(A^{'}, V (A^{'}))$ 사이의 아핀 변환의 집합 ${Hom}_{K} (A, A^{'})$ 은 자연스러운 아핀 공간 구조를 가지며, 그 기본 벡터 공간과 차원은 다음과 같다.

V ({Hom}_{K} (A, A^{'})) = {Hom}_{K} (A, V (A^{'}))

\dim ({Hom}_{K} (A, A^{'})) = \dim A^{'} (\dim A + 1)

아핀 군

아핀 변환 $F : A \to A^{'}$ 및 $G : A^{'} \to A^{″}$ 에 대하여, 합성 $G \circ F : A \to A^{″}$ 역시 아핀 변환이다. 전단사 아핀 변환 $F : A \to A^{'}$ 에 대하여, 역함수 $F^{- 1} : A^{'} \to A$ 역시 아핀 변환이다. 특히, 아핀 공간 $(A, V (A))$ 위의 전단사 아핀 변환들의 집합은 군을 이루며, 이를 아핀 군 $Aff (A)$ 라고 한다. 아핀 군은 평행 이동들의 벡터 공간 $V (A)$ 와 그 일반 선형군 $GL (V (A))$ 의 반직접곱과 동형이다.

Aff (A) ≅ V (A) ⋊ GL (V (A))

만약 $A$ 가 벡터 공간일 경우 위 동형은 자연스럽다.

유한 차원

아핀 기하학의 기본 정리

아핀 기하학의 기본 정리(-畿何學-基本定理, 영어: fundamental theorem of affine geometry)에 따르면, 체 $K$ 위의 유한 $d \neq 1$ 차원 아핀 공간 $A$ 위의 전단사 함수 $F : A \to A$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

공선점을 보존한다. 즉, 만약 $a, b, c \in A$ 가 공선점이라면, $F (a), F (b), F (c) \in A$ 역시 공선점이다.
반아핀 변환이다.

특히, 실수체 $ℝ$ 의 자기 동형 사상은 항등 함수밖에 없으므로, 유한 $d \neq 1$ 차원 실수 아핀 공간 $A$ 위의 전단사 함수 $F : A \to A$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

공선점을 보존한다.
아핀 변환이다.

마찬가지로, 복소수체 $ℂ$ 의 연속 자기 동형 사상은 항등 함수와 켤레 복소수 $z \mapsto \bar{z}$ 밖에 없으므로 (비(非)연속 자기 동형 사상은 그 밖에도 존재한다), 유한 $d \neq 1$ 차원 복소수 아핀 공간 $A$ 위의 연속 전단사 함수 $F : A \to A$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

공선점을 보존한다.
아핀 변환이거나, 켤레 복소수에 대한 반아핀 변환이다.

1차원에서는 모든 함수가 공선점을 보존하므로 일반적으로 아핀 기하학의 기본 정리가 성립하지 않는다.

행렬 표현

체 $K$ 위의 두 유한 $n$ , $m$ 차원 아핀 공간 $(A, V (A))$ , $(A^{'}, V (A^{'}))$ 사이의 아핀 변환 $F : A \to A^{'}$ 은 아핀 틀 $(o, B)$ , $(o^{'}, B^{'})$ 에 대하여 다음과 같은 꼴의 행렬로 표현할 수 있다.

M_{(o, B), (o^{'}, B^{'})} (F) = (\begin{matrix} 1 & 0_{1 \times n} \\ a_{m \times 1} & {M_{B, B^{'}} (T (F))}_{m \times n} \end{matrix})

여기서 $M_{B, B^{'}} (T (F))$ 는 기저 $B$ , $B^{'}$ 에 대한 $T (F)$ 의 행렬이다.

특히, 유한 차원 아핀 군 $Aff (n; K)$ 는 일반선형군 $GL (n + 1; K)$ 의 부분군으로 여길 수 있다.

유클리드 공간

유클리드 공간 $ℝ^{d}$ 위의 아핀 변환은 모든 도형의 초부피를 일정한 비율로 변화시키며, 이 비율은 유도된 선형 변환의 행렬식의 절댓값과 같다. 다시 말해, $ℝ^{d}$ 위의 르베그 측도를 $μ$ 라고 할 때, 임의의 가측 집합 $S \subseteq ℝ^{d}$ 및 아핀 변환 $F : ℝ^{d} \to ℝ^{d}$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

μ (F (S)) = | \det T (F) | μ (S)

예

아핀 공간 위의 다음과 같은 함수들은 아핀 변환이다.

상수 함수
평행 이동
중심 닮음 변환
주어진 부분 아핀 공간에 대한, 주어진 여공간을 따른 반사
주어진 부분 아핀 공간에 대한, 주어진 여공간을 따른 사영

모든 반선형 변환은 반아핀 변환이다. 모든 선형 변환은 아핀 변환이다.

유클리드 공간 위의 다음과 같은 함수들은 아핀 변환이다.

1차원 복소수 벡터 공간 $ℂ$ 위의 켤레 복소수 함수

ℂ \to ℂ

z \mapsto \bar{z}

는 반선형 변환이며, 특히 반아핀 변환이다.

같이 보기

아핀 기하학

각주

↑ Audin, Michèle (2003). 《Geometry》 (영어). Universitext. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-642-56127-6. ISBN 978-3-540-43498-6. ISSN 0172-5939.
↑ Berger, Marcel (1987). 《Geometry I》 (영어). 번역 Cole, Michael; Levy, Silvio. Universitext. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-93815-6. ISBN 978-3-540-11658-5. ISSN 0172-5939.
↑ Gallier, Jean (2011). 《Geometric methods and applications》 2판 (영어). Texts in Applied Mathematics 38. 뉴욕: Springer. doi:10.1007/978-1-4419-9961-0. ISBN 978-1-4419-9960-3. ISSN 0939-2475. LCCN 2011929342.

외부 링크

“Affine transformation” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Affine transformation” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.

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[Audin-1] Audin, Michèle (2003). 《Geometry》 (영어). Universitext. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-642-56127-6. ISBN 978-3-540-43498-6. ISSN 0172-5939.

[Berger-2] Berger, Marcel (1987). 《Geometry I》 (영어). 번역 Cole, Michael; Levy, Silvio. Universitext. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-93815-6. ISBN 978-3-540-11658-5. ISSN 0172-5939.

[Gallier-3] Gallier, Jean (2011). 《Geometric methods and applications》 2판 (영어). Texts in Applied Mathematics 38. 뉴욕: Springer. doi:10.1007/978-1-4419-9961-0. ISBN 978-1-4419-9960-3. ISSN 0939-2475. LCCN 2011929342.

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