베르트랑 모형

베르트랑 모형(Bertrand model)은 경제학에서 과점 시장을 설명할 때 쓰이는 모형이다. 조셉 루이스 프랑소와 베르트랑(1822-1900)을 이름을 따서 명명되었다. 이 모형은 가격을 설정하는 각각의 기업(공급자) 사이의 상호작용을 설명해준다.

동질적 재화의 베르트랑 경쟁

시장에 적어도 동질의 제품을 제공하는 기업이 둘 이상 있다.
기업들은 서로 협력하지 않는다.
기업들은 실시간적으로 가격경쟁을 한다.
고객들은 모든 재화를 기업으로부터 낮은 가격에 구입한다. 만약 기업들이 같은 가격을 부과하면, 고객들은 기업들의 제품 중에서 무작위로 선택한다.

어떤 기업이 상대 기업보다 조금만 낮춘다고 하더라도 시장 전체를 차지할 수 있다. 기업이 상대 기업보다 가격을 낮출 유인이 존재하기 때문에, 베르트랑 경쟁의 결과로 두 기업의 가격 책정은 한계비용 수준에 도달하게 된다.

차별화된 재화의 베르트랑 모형의 최적반응함수

두 기업이 직면하는 수요곡선은 다음과 같다. 두 기업이 책정하는 가격은 각각 $p_{1}, p_{2}$ , 수요량은 각각 $q_{1}, q_{2}$ 이다.

q_{1} = α_{1} - β_{1} p_{1} + γ_{1} p_{2} where β_{1} > γ_{1}

q_{2} = α_{2} - β_{2} p_{2} + γ_{2} p_{1} where β_{2} > γ_{2}

두 기업이 직면하는 고정비용은 0이고, 한계비용은 각각 $c_{1}, c_{2}$ 라 하면 두 기업의 이윤함수는 다음과 같다.

π_{1} = (p_{1} - c_{1}) q_{1}

π_{2} = (p_{2} - c_{2}) q_{2}

각 기업의 이윤극대화 조건은 다음과 같다.

\frac{\partial π_{1}}{\partial p_{1}} = α_{1} - 2 β_{1} p_{1} + γ_{1} p_{2} + β_{1} c_{1} = 0

\frac{\partial π_{2}}{\partial p_{2}} = α_{2} - 2 β_{2} p_{2} + γ_{2} p_{1} + β_{2} c_{2} = 0

위의 이윤극대화 조건으로부터 각 기업의 최적반응함수를 도출할 수 있다.

p_{1} = \frac{α_{1} + β_{1} c_{1}}{2 β_{1}} + \frac{γ_{1}}{2 β_{1}} p_{2}

p_{2} = \frac{α_{2} + β_{2} c_{2}}{2 β_{2}} + \frac{γ_{2}}{2 β_{2}} p_{1}

두 기업의 최적반응함수가 만나는 점이 차별화된 재화의 베르트랑 경쟁에서 내쉬 균형이 된다.

생산능력이 제약된 상태에서 과점 기업이 가격 경쟁을 하는 경우에는 쿠르노 모형이 제시하는 결과와 같아지게 된다.^[1] 생산능력을 쉽게 바꿀 수 없는 산업에서는 기업이 가격 경쟁을 하더라도 쿠르노 모형을 통해 시장의 결과를 설명할 수 있다는 함의를 갖는다.^[2]

↑ Kreps; Scheinkman (1983). “Quantity Precommitment and Bertrand Competition Yield Cournot Outcomes”. 《Bell Journal of Economics》 14 (2): 326-337. doi:10.2307/3003636.
↑ Austan Goolsbee; Steven Levitt; Chad Syverson (2016). 《미시경제학》 2판. 시그마프레스. 470-471쪽. ISBN 978-89-6866-765-7.