베셀 부등식

함수해석학에서, 베셀 부등식(Bessel不等式, 영어: Bessel’s inequality)은 내적 공간 속의 벡터의 정규 직교 수열에 대한 계수가 만족시키는 부등식이다.

정의

실수체 또는 복소수체 $𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$ 위의 내적 공간 $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ 속의 정규 직교 집합 $B\subseteq V$가 주어졌다고 하자. 베셀 부등식에 따르면, 임의의 벡터 $v\in V$에 대하여, 다음이 성립한다.^{:99:82:83:508–509}

$\sum _{e\in B}|⟨v,e⟩{|}^2\le \Vert v{\Vert }^2$

(특히, $⟨v,e⟩\ne 0$인 $e\in B$는 오직 가산 개만이 존재한다.)

증명:

만약 $B$가 유한 집합이라면, 내적의 쌍선형성과 정규 직교 집합의 정의에 따라 자명하게 성립한다.

만약 $B$가 (가산 또는 비가산) 무한 집합이라면, 베셀 부등식은 다음과 같이 얻을 수 있다. 임의의 유한 집합 $B^{\prime }\subseteq B$에 대하여,

$\begin{array}{cc}0& \le \Vert v-\sum _{e\in B^{\prime }}⟨v,e⟩e{\Vert }^2\\ & =\Vert v{\Vert }^2-2\mathrm{\Re }(⟨v,\sum _{e\in B^{\prime }}⟨v,e⟩e⟩)+\Vert \sum _{e\in B^{\prime }}⟨v,e⟩e{\Vert }^2\\ & =\Vert v{\Vert }^2-2\mathrm{\Re }(\sum _{e\in B^{\prime }}|⟨v,e⟩{|}^2)+\sum _{e\in B^{\prime }}|⟨v,e⟩{|}^2\\ & =\Vert v{\Vert }^2-2\sum _{e\in B^{\prime }}|⟨v,e⟩{|}^2+\sum _{e\in B^{\prime }}|⟨v,e⟩{|}^2\\ & =\Vert v{\Vert }^2-\sum _{e\in B^{\prime }}|⟨v,e⟩{|}^2.\end{array}$

만약 $V$가 힐베르트 공간일 경우, 베셀 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 $B$가 $V$의 정규 직교 기저일 것이다. 이를 파르스발 항등식이라고 한다. 이 경우 항상

$v=\sum _{e\in B}⟨v,e⟩e$

이다. 반면, 만약 $B$가 정규 직교 기저가 아닐 경우 위 급수는 (베셀 부등식에 따라 부분합이 코시 열이므로) 수렴하지만, 합이 $v$가 아닐 수 있다.

역사

프리드리히 베셀의 이름을 땄다.

같이 보기

• 코시-슈바르츠 부등식
• 파르스발의 정리

외부 링크

• “Bessel inequality” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bessel’s inequality” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.