베주 항등식

수론에서 베주 항등식(영어: Bézout’s identity)은 두 정수의 최대공약수를 원래 두 수의 배수의 합으로 나타낼 수 있다는 정리다.

정의

주 아이디얼 정역 $R$ 속의 원소 $a,b\in R$가 주어졌고, $d$가 $a$와 $b$의 최대공약수의 하나라고 하자.

그렇다면, 다음 등식을 성립하게 하는 원소 $m,n\in R$가 존재한다.

$ma+nb=d$

증명:

$R$가 주 아이디얼 정역이라고 하고, $a,b\in R$라고 하며 $d\in R$가 그 최대공약수의 하나라고 하자. $R$가 주 아이디얼 정역이므로 $Ra+Rb$는 주 아이디얼이다. 즉,

$Ra+Rb=Rc$

인 $c\in R$가 존재한다. 최대공약수의 정의에 따라

$Ra+Rb\subset Rd\subset Rc=Ra+Rb$

이다. 따라서

$Ra+Rb=Rd$

이며,

$ma+nb=d$

인 $m,n\in R$가 존재한다.

역사

에티엔 베주가 증명하였다.

같이 보기

• 유클리드의 보조 정리
• 산술의 기본 정리

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bézout's identity” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bézout numbers” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.