베타 분포

베타 분포

확률 밀도 함수
파일:Beta distribution pdf.svg
누적 분포 함수
파일:Beta distribution cdf.svg
기호	Beta(α, β)
매개변수	α,β > 0
지지집합	$x\in [0,1]$
확률 밀도	$\frac{x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}$
누적 분포	$I_x(\alpha ,\beta )$
기댓값	$\mathrm{E}[X]=\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$ $\mathrm{E}[\ln X]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )$ (디감마함수)
중앙값	$I_{\frac{1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )$
최빈값	$\frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -2}$ (α, β >1)
분산	$\mathrm{var}[X]=\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)}$ $\mathrm{var}[\ln X]={\psi }_1(\alpha )-{\psi }_1(\alpha +\beta )$ (폴리감마함수)
비대칭도	$\frac{2(\beta -\alpha )\sqrt{\alpha +\beta +1}}{(\alpha +\beta +2)\sqrt{\alpha \beta }}$
첨도	$\frac{6[(\alpha -\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}$
엔트로피	$\begin{array}{c}\ln \mathrm{B}(\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )-(\beta -1)\psi (\beta )\\ +(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{array}$
적률생성함수	$1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\prod _{r=0}^{k-1}\frac{\alpha +r}{\alpha +\beta +r}\right)\frac{t^k}{k!}$
특성함수	${}_1{F}_1(\alpha ;\alpha +\beta ;it)$ (초기하함수)

확률론과 통계학에서 베타 분포(Β分布, 영어: beta distribution)는 두 매개변수 $\alpha$와 $\beta$에 따라 [0,1] 구간에서 정의되는 연속 확률 분포들의 가족이다.

확률 밀도 함수

베타 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

$\begin{array}{cc}f(x;\alpha ,\beta )& =\frac{x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}}{\underset{0}{\overset{1}{\int }}{u}^{\alpha -1}(1-u{)}^{\beta -1}du}\\ & =\frac{\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}\\ & =\frac{1}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}\end{array}$

여기서 $\Gamma$는 감마 함수이다. 베타 함수 B(.,.)는 함수의 적분값이 1이 되도록 하기 위해 사용되었다.

응용

베타 분포는 다운링크 빔포밍 등에 쓰인다.

외부 링크

• “Beta-distribution” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Beta distribution” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.