보렐-칸텔리 보조정리

확률론에서, 보렐-칸텔리 보조정리(영어: Borel–Cantelli lemma)는 일련의 사건들 가운데 무한 개가 일어날 확률이 0일 충분 조건과 1일 충분 조건을 제시하는 정리이다.

정의

보렐-칸텔리 보조정리는 (제1) 보렐-칸텔리 보조정리(영어: (first) Borel–Cantelli lemma)와 제2 보렐-칸텔리 보조정리(영어: second Borel–Cantelli lemma)로 구성된다.

확률 공간 $(\Omega ,ℱ,\mathrm{Pr})$ 속 사건의 열 $(A_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\subset ℱ$에 대하여, 다음이 성립한다.

• (제1 보렐-칸텔리 보조정리) 만약 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{Pr}(A_i)<\mathrm{\infty }$라면, $\mathrm{Pr}\left(\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{i=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=0$이다.
• (제2 보렐-칸텔리 보조정리) 만약 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{Pr}(A_i)=\mathrm{\infty }$이며 $(A_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$가 독립이라면, $\mathrm{Pr}\left(\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{i=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=1$이다.

제1 보렐-칸텔리 보조정리의 증명:

증명 1: 가정 및 확률 측도의 성질에 따라

$0=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=n}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{Pr}(A_i)\ge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{Pr}\left(\bigcup _{i=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=\mathrm{Pr}\left(\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{i=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)$

이다. 따라서

$\mathrm{Pr}\left(\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{i=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=0$

이다.

증명 2: 다음과 같은, 확장된 실수 값의 확률 변수를 정의하자.

$N=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{1}_{A_i}$

그렇다면 단조 수렴 정리에 따라 다음이 성립한다.

$\mathrm{\infty }>\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{Pr}(A_i)=\mathrm{E}(N)\ge \mathrm{\infty }\cdot \mathrm{Pr}(N=\mathrm{\infty })=\mathrm{\infty }\cdot \mathrm{Pr}\left(\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{i=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)$

따라서

$\mathrm{Pr}\left(\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{i=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=0$

이다.

제2 보렐-칸텔리 보조정리의 증명:

미적분학을 사용하여 다음 부등식을 보일 수 있다.

$1-x\le \exp (-x)$

이 부등식과 $(A_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$의 독립성에 따라, 임의의 $n=1,2,\dots$에 대하여 다음이 성립한다.

$\begin{array}{cc}\mathrm{Pr}(\bigcap _{i=n}^{\mathrm{\infty }}(\Omega \setminus A_i))& =\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{Pr}(\bigcap _{i=n}^m(\Omega \setminus A_i))\\ & =\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{i=n}^m(1-\mathrm{Pr}(A_i))\\ & \le \underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{i=n}^m\exp (-\mathrm{Pr}(A_i))\\ & =\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\exp (-\sum _{i=n}^m\mathrm{Pr}(A_i))\\ & =0\end{array}$

따라서 다음이 성립한다.

$\begin{array}{cc}\mathrm{Pr}\left(\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{i=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)& =1-\mathrm{Pr}(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcap _{i=n}^{\mathrm{\infty }}(\Omega \setminus A_i))\\ & =1-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{Pr}(\bigcap _{i=n}^{\mathrm{\infty }}(\Omega \setminus A_i))\\ & =1\end{array}$

일반화

제2 보렐-칸텔리 보조정리는 다음과 같이 일반화할 수 있다.

코첸-스톤 부등식

확률 공간 $(\Omega ,ℱ,\mathrm{Pr})$ 속 사건의 열 $(A_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\subset ℱ$에 대하여,

$L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{\sum _{i,j=1}^n\mathrm{Pr}(A_i\cap A_j)}{{(\sum _{i=1}^n\mathrm{Pr}(A_i))}^2}$

라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• $L\ge 1$
• 만약 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{Pr}(A_i)=\mathrm{\infty }$라면, $\mathrm{Pr}\left(\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{i=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)\ge 1/L$이다.
  • 특히, 만약 $L<\mathrm{\infty }$라면 위 확률은 0보다 크다.
  • 특히, 만약 $L=1$이라면 위 확률은 1이다.^{:88, §[1.]6, Theorem 6.3}
• 만약 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{Pr}(A_i)=\mathrm{\infty }$이며 $(A_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$가 쌍마다 독립이라면, $L=1$이다.^{:89, §[1.]6, Example 6.4} 따라서 코첸-스톤 부등식은 제2 보렐-칸텔리 보조정리를 일반화한다.

페트로프의 일반화

확률 공간 $(\Omega ,ℱ,\mathrm{Pr})$ 속 사건의 열 $(A_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\subset ℱ$ 및 임의의 실수 $H\in ℝ$에 대하여,

${\alpha }_H=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{\sum _{1\le i<j\le n}(\mathrm{Pr}(A_i\cap A_j)-H\mathrm{Pr}(A_i)\mathrm{Pr}(A_j))}{{(\sum _{i=1}^n\mathrm{Pr}(A_i))}^2}$

라고 하자. 그렇다면, 만약

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{Pr}(A_i)=\mathrm{\infty }$

라면,

$\mathrm{Pr}\left(\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{i=n}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)\ge 1/(H+2{\alpha }_H)$

이다.

특히, 코첸-스톤 부등식은 $H=0$인 특수한 경우이다.

역사

에밀 보렐과 프란체스코 파올로 칸텔리(이탈리아어: Francesco Paolo Cantelli)가 제시하였다.

사이먼 버나드 코첸(영어: Simon Bernhard Kochen)과 찰스 졸 스톤(영어: Charles Joel Stone)이 한 가지 일반화를 제시하였다. 발렌틴 블라디미로비치 페트로프(러시아어: Валентин Владимирович Петров)는 보다 더 일반적인 결과를 내놓았다.

같이 보기

• 무한 원숭이 정리

외부 링크

• Prokhorov, A. V. (2001). “Borel-Cantelli lemma” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.