보편 가역층

대수기하학과 미분기하학에서, 보편 가역층(普遍可逆層, 영어: universal invertible sheaf, tautological invertible sheaf) 또는 보편 선다발(普遍線다발, 영어: universal line bundle, tautological line bundle)은 사영 공간 위에 정의되는 표준적인 가역층(선다발)이며, 보통 $𝒪(-1)$로 표기된다. 대략, 사영 공간은 벡터 공간의 원점을 지나는 1차원 부분 벡터 공간들의 모듈라이 공간이므로, 보편 가역층은 사영 공간의 각 점에, 이 점이 나타내는 1차원 부분 벡터 공간을 대응시키는 선다발이다.

정의

체 $K$ 위의 유한 생성 자유 가환 결합 대수

$A=K[x_0,x_1,\dots ,x_n]$

를 생각하자. $n$차원 사영 공간은 그 사영 스펙트럼이다.

${\mathbb{P}}_K^n=\mathrm{Proj}A$

이제, 구조층

${𝒪}_{{\mathbb{P}}_K^n}$

위의 대수층

$𝒜={𝒪}_{{\mathbb{P}}_K^n}[y_0,\dots ,y_n]$

의 상대 스펙트럼

$\underset{\_}{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}}𝒜={𝔸}_{{\mathbb{P}}_K^n}^{n+1}={\mathbb{P}}_K^n{\times }_K{𝔸}_K^{n+1}$

을 취하자. 기하학적으로, 이는 $n$차원 사영 공간 위의 자명한 $n+1$차원 벡터 다발에 해당한다.

이제, 대수층의 다음과 같은 아이디얼 층을 생각하자.

$\Im =(x_i{y}_j-x_j{y}_i{)}_{i,j\in \{0,1,\dots ,n\}}\subseteq 𝒜$

그렇다면, 이에 대한 몫 대수층

${𝒪}_{{𝒫}_K^n}(-1)=\underset{\_}{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}}(𝒜/\Im )$

는 가역층을 이룬다. 이를 ${\mathbb{P}}_K^n$의 보편 가역층이라고 한다. 기하학적으로, 그 닫힌점들의 집합은

$\{([x_0:x_1:\cdots :x_n],y_0,y_1,\dots ,y_n)\in {\mathbb{P}}_K^n{\times }_K{𝔸}_K^{n+1}:[x_0:\cdots :x_n]=[y_0:\cdots :y_n]\}\cup {\mathbb{P}}_K^n\times \{(0,0,\dots ,0)\}$

이다. 여기서 $(-,-,\dots ,-)$은 아핀 공간의 데카르트 좌표이며, $[-:-:\cdots :-]$는 사영 공간의 동차 좌표이다.

성질

보편 가역층 $𝒪(-1)$은 세르 뒤틀림층(영어: Serre’s twisting sheaf) $𝒪(1)$의 (텐서곱에 대한) 역원이다.

베유 인자

체 $K$ 위의 사영 공간 ${\mathbb{P}}_K^n=\mathrm{Proj}K[x_0,x_1,\dots ,x_n]$을 생각하자. 이 경우, 가환환의 몫 사상

$K[x_0,x_1,\dots ,x_n]\stackrel{x_0\mapsto 0}{\twoheadrightarrow }K[x_1,\dots ,x_n]$

으로 정의되는, 사영 공간 사이의 사상

${\mathbb{P}}_K^{n-1}\hookrightarrow {\mathbb{P}}_K^n$

을 생각하자. 이는 여차원 1의 닫힌 부분 스킴이므로, ${\mathbb{P}}_K^n$의 베유 인자를 이룬다. 이를 초평면 인자(영어: hyperplane divisor)라고 하고, $H$로 표기하자.

($x_0$ 대신 다른 좌표를 사용하거나 $x_0$을 0 대신 다른 값으로 대응시키더라도, 이와 같은 동치류에 속하는 베유 인자를 얻는다.)

그렇다면, 보편 가역층은 인자류

$-[H]\in \mathrm{DivCl}({\mathbb{P}}_K^n)$

에 대응한다. (즉, 효과적 인자류 $[H]$는 세르 뒤틀림층에 대응한다.)

같이 보기

• 천 특성류
• 톰 공간

외부 링크

• “Tautological line bundle” (영어). 《nLab》. 
• “Hyperplane line bundle” (영어). 《nLab》.