톰 공간

대수적 위상수학에서 톰 공간(Thom空間, 영어: Thom space)은 실수 벡터 다발에 하나의 “무한대” 점을 추가하여 얻는 위상 공간이다. 이를 사용하여 미분위상수학의 일부 대상들을 호모토피 이론의 기법으로 다룰 수 있다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 파라콤팩트 공간 $X$
• $n$차원 실수 벡터 다발 ${ℝ}^n\hookrightarrow E\stackrel{\pi }{\twoheadrightarrow }X$

그렇다면, 각 올의 알렉산드로프 콤팩트화를 취하여, 초구 ${𝕊}^n={ℝ}^n\bigsqcup \{\mathrm{\infty }\}$를 올로 하는 올다발 $\mathrm{Sph}(E)\twoheadrightarrow X$을 정의할 수 있다. 이제, 각 올의 콤팩트화 아래 추가된 점들을 한 점으로 붙인 것을 톰 공간 $\mathrm{Th}(E)$이라고 한다.

$\mathrm{Th}(E):=\frac{\mathrm{Sph}(E)}{\{(x,{\mathrm{\infty }}_x):x\in X\}}$

내적을 통한 정의

$E$ 위에, 올별 임의의 연속 양의 정부호 내적

$\eta \in \Gamma (E^{*}\otimes E^{*})$

을 임의로 고르자. 이를 통하여, 임의의 $x\in X$에 대하여 올 $E_x$의 닫힌 공

$\mathrm{Ball}(\pi ):=\{e\in E_x:\eta (e,e)\le 1\}$

및 초구

$\mathrm{Sph}(\pi ):=\{e\in E_x:\eta (e,e)=1\}$

을 정의할 수 있다. 이 둘은 $X$ 위의 올다발을 이루며, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

$\mathrm{Sph}(\pi )\subseteq \mathrm{Ball}(\pi )\subseteq E$

톰 공간은 다음과 같은 몫공간이다.

$\mathrm{Th}(\pi )=\frac{\mathrm{Ball}(\pi )}{\mathrm{Sph}(\pi )}$

이는 자연스럽게 점을 가진 공간을 이루며, 그 밑점은 $\mathrm{Sph}(\pi )$의 동치류이다.

성질

연산에 대한 호환

두 파라콤팩트 공간 $X$, $Y$과 그 위의 두 유한 차원 벡터 다발

$\pi :E\twoheadrightarrow X$

$\varpi :F\twoheadrightarrow Y$

가 주어졌다고 하자. 곱공간 $X\times Y$으로부터의 사영 사상

${\mathrm{proj}}_X:X\times Y\twoheadrightarrow X$

${\mathrm{proj}}_Y:X\times Y\twoheadrightarrow Y$

을 잡고, 각 벡터 다발의 사상과의 당김

${\mathrm{proj}}_X^{*}\pi :E\twoheadrightarrow X\times Y$

${\mathrm{proj}}_X^{*}\varpi :F\twoheadrightarrow X\times Y$

을 구한다. 이들의 직합을 $\pi ⊠\varpi$로 표기하겠다.

$\pi ⊠\varpi :{\mathrm{proj}}_X^{*}E\oplus {\mathrm{proj}}_X^{*}F\twoheadrightarrow X\times Y$

이 때 위 사상으로 정의되는 올다발의 톰 공간 $\mathrm{Th}(\pi ⊠\varpi )$는 각각의 톰 공간에 서로 분쇄곱을 취한 것과 위상 동형이다.

$\mathrm{Th}(\pi ⊠\varpi )=\mathrm{Th}(\pi )\wedge \mathrm{Th}(\varpi )$

특히, 만약 $\varpi$가 한원소 공간 위의 (자명한) 벡터 다발이라고 하자.

$Y=\{\bullet \}$

$F=Y\times {ℝ}^n$

그렇다면, $\varpi$의 톰 공간은 초구이므로, ($\mathrm{Th}(\varpi )={𝕊}^n$) 다음을 얻는다.

$\mathrm{Th}(E\oplus {ℝ}^n)=\mathrm{Th}(E)\wedge {𝕊}^n={\mathrm{\Sigma }}^n(\mathrm{Th}(E))$

여기서 ${\mathrm{\Sigma }}^n$은 축소 현수를 $n$번 취한 것이다.

함자성

두 파라콤팩트 공간 위의 유한 차원 벡터 다발

$\pi :E\twoheadrightarrow X$

$\varpi :F\twoheadrightarrow Y$

및 연속 함수

$f:X\to Y$

위의 벡터 다발 사상

$\varphi :E\to F$

가 주어졌을 때, 자연스러운, 밑점을 보존하는 연속 함수

$\mathrm{Th}(f,\varphi ):\mathrm{Th}(\pi )\to \mathrm{Th}(\varpi )$

$\mathrm{Th}(f,\varphi ):(x,e)\mapsto (f(x),\varphi (e))(e\in E_x)$

$\mathrm{Th}(f,\varphi ):\mathrm{\infty }\mapsto \mathrm{\infty }$

가 존재한다. 즉, 이는 유한 차원 벡터 다발의 범주에서 점을 가진 공간의 범주로 가는 함자

$\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{B}\mathrm{u}{\mathrm{n}}_{\mathrm{fin}}\to {\mathrm{Top}}_{\bullet }$

를 정의한다.

호몰로지

초구 다발 $\mathrm{Sph}(E)$의 무한대 단면을 $s_{\mathrm{\infty }}:B\to \mathrm{Sph}(E)$, 영단면을 $s_0:B\to E⊊\mathrm{Sph}(E)$라고 적자.

톰 공간의 축소 코호몰로지는 다음과 같은 상대 호몰로지와 같다.

${\tilde{\mathrm{H}}}^{\bullet }(\mathrm{Th}(E))={\mathrm{H}}^{\bullet }(\mathrm{Sph}(E),s_{\mathrm{\infty }}(B))\cong {\mathrm{H}}^{\bullet }(\mathrm{Sph}(E),s_0(B))\cong {\mathrm{H}}^{\bullet }(\mathrm{Sph}(E),\mathrm{Sph}(E)\setminus s_0(B))\cong {\mathrm{H}}^{\bullet }(E,E\setminus s_0(B))$

톰 동형

유한 차원 실수 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow B$ 및 음이 아닌 정수 $k\in \mathbb{N}$에 대하여, 다음과 같은 ${𝔽}_2$-벡터 공간의 표준적인 동형 사상이 존재한다.

${\mathrm{H}}^k(B;{𝔽}_2)\cong {\tilde{\mathrm{H}}}^{k+n}(\mathrm{Th}(E);{𝔽}_2)$

여기서 우변은 축소 코호몰로지이다. 이를 톰 동형(영어: Thom isomorphism)이라고 한다.

톰 동형은 구체적으로 어떤 원소

$\Phi \in {\mathrm{H}}^n(E,E\setminus s_0(B);{𝔽}_2)$

에 의한 합곱으로 주어진다.

$\Phi ⌣:{\mathrm{H}}^k(E;{𝔽}_2)\to {\mathrm{H}}^{k+n}(E,E\setminus s_0(B);{𝔽}_2)$

만약 $E\twoheadrightarrow B$가 유향 벡터 다발이라면, 이는 임의의 가환환 $R$ 계수에 대하여 존재한다.

$\Phi ⌣{\pi }^{*}(-):{\mathrm{H}}^k(B;R)\to {\mathrm{H}}^{k+n}(E,E\setminus s_0(B);R)$

예

자명한 벡터 다발

파라콤팩트 공간 $X$ 위의 자명한 벡터 다발 $\pi :X\times {ℝ}^n$의 톰 공간을 생각하자. 이 경우

$\mathrm{Ball}(\pi )=X\times {𝔹}^n$

$\mathrm{Sph}(\pi )=X\times {𝕊}^{n-1}$

이며,

$\mathrm{Th}(\pi )=X\times {𝕊}^n/(X\times \{{\bullet }_{{𝕊}^n}\})$

이다. 여기서 ${\bullet }_{{𝕊}^n}\in {𝕊}^n$은 초구 ${𝕊}^n$에 부여한 임의의 밑점으로, 공 ${𝔹}^n$의 경계에 속한다.

만약 $X_{+}=X\bigsqcup \{{\bullet }_X\}$가 $X$에 분리된 밑점을 추가한 점을 가진 공간이라면, 이는

$\mathrm{Th}(\pi )\cong X_{+}\wedge {𝕊}^n$

가 된다. 여기서 $\cong$은 위상 동형이며, $\wedge$는 점을 가진 공간끼리의 분쇄곱이다.

특히, 만약 $n=0$일 경우 (0차원 벡터 다발), 톰 공간은

$\mathrm{Th}(\pi )\cong X_{+}\wedge {𝕊}^0\cong X_{+}$

이다.

콤팩트 공간 위의 벡터 다발

콤팩트 공간 $X$ 위의 벡터 다발 $\pi :E\twoheadrightarrow X$의 톰 공간 $\mathrm{Th}(\pi )$은 $E$의 알렉산드로프 콤팩트화와 위상 동형이다.

$\mathrm{Th}(\pi )\cong E^{+}$

톰 스펙트럼

섬네일을 만드는 중 오류 발생:  이 부분의 본문은 톰 스펙트럼입니다.

분류 공간

$\mathrm{O}(n)\hookrightarrow \mathrm{EO}(n)\twoheadrightarrow \mathrm{BO}(n)$

위의 연관 벡터 다발

${ℝ}^n\hookrightarrow (\mathrm{EO}(n){\times }_{\mathrm{O}(n)}{ℝ}^n)\twoheadrightarrow \mathrm{BO}(n)$

의 톰 공간을 다음과 같이 표기하자.

$\mathrm{MO}(n):=\mathrm{Th}(\mathrm{EO}(n){\times }_{\mathrm{O}(n)}{ℝ}^n)$

이들 사이에는 자연스러운 사상

$\Sigma \mathrm{MO}(n)\to \mathrm{MO}(n+1)$

이 존재하여, 스펙트럼 $\mathrm{MO}$를 정의하는데, 이를 톰 스펙트럼이라고 한다.

역사

르네 톰이 1954년에 도입하였다.

같이 보기

• 보충 경계
• 코호몰로지 연산

각주

• Bott, Raoul; Tu, Loring Wuliang (1982). 《Differential forms in algebraic topology》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 82. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-1-4419-2815-3. ISSN 0072-5285. 

외부 링크

• “Thom space” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Thom space” (영어). 《nLab》. 
• Thom, Konrad (2012년 6월 13일). “Thom spaces” (영어). 
• Mathew, Akhil (2010년 12월 11일). “The Thom isomorphism theorem” (영어). 《Climbing Mount Bourbaki》. 
• “Explanation for the Thom-Pontryagin construction (and its generalisations)” (영어). Math Overflow.