분할 거듭제곱 환

가환대수학에서 분할 거듭제곱 환(分割-環, 영어: divided power ring, 프랑스어: anneau à puissances divisées)은 표수의 배수인 $n$의 경우에도, 적어도 어떤 아이디얼의 원소 $x$의 경우에는 “$x^n/n!$”과 유사한 연산이 가능하게 하는 구조가 주어진 가환환이다. 표수 0의 체 위의 가환 결합 대수의 경우에는 분할 거듭제곱 구조는 유일하지만, 양의 표수에서는 일반적으로 그렇지 않다.

정의

분할 거듭제곱 환 $(R,\Im ,\gamma )$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 가환환 $R$
• $R$의 아이디얼 $\Im \subseteq R$
• 각 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, 함수 ${\gamma }_n:\Im \to R$. 이를 $(R,\Im )$ 위의 분할 거듭제곱 구조(分割-構造, 영어: divided power structure, 프랑스어: structure à puissances divisées)라고 한다.

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

${\gamma }_0(x)=1\mathrm{\forall }x\in \Im$

${\gamma }_1(x)=x\mathrm{\forall }x\in \Im$

${\gamma }_n(x)\in \Im \mathrm{\forall }n\in {\mathbb{Z}}^{+},x\in \Im$

${\gamma }_n(x+y)=\sum _{i=0}^n{\gamma }_{n-i}(x){\gamma }_n(y)\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},x,y\in \Im$

${\gamma }_n(rx)=r^n{\gamma }_n(x)\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},r\in R,x\in \Im$

${\gamma }_m(x){\gamma }_n(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{m}){\gamma }_{m+n}(x)\mathrm{\forall }m,n\in \mathbb{N},x\in \Im$

${\gamma }_n({\gamma }_m(x))=\frac{(mn)!}{(m!{)}^{n}n!}{\gamma }_{mn}(x)\mathrm{\forall }m\in {\mathbb{Z}}^{+},n\in \mathbb{N},x\in \Im$

간혹 ${\gamma }_n(x)$ 대신 $x^{[n]}$와 같은 표기도 사용된다.

분할 거듭제곱 환 준동형

두 분할 거듭제곱 환 $(R,\Im ,\gamma )$, $(S,𝔍,\delta )$ 사이의 준동형 $f:R\to S$은 다음 두 조건을 만족시키는 환 준동형이다.

$f(\Im )S\subseteq 𝔍$

$f({\gamma }_n(x))={\delta }_n(f(x))\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},x\in \Im$

이에 따라, 분할 거듭제곱 환과 그 준동형들로 구성된 구체적 범주가 존재한다.

분할 거듭제곱 스킴

분할 거듭제곱 환의 개념을 스킴으로 일반화시킬 수 있다.

분할 거듭제곱 스킴(分割-scheme, 영어: divided power scheme)은 다음 데이터로 주어진다.

• 스킴 $(X,{𝒪}_X)$
• ${𝒪}_X$ 위의 아이디얼 층 $ℐ$
• $X$의 각 (자리스키) 열린집합 $U\subseteq X$에 대하여, 분할 거듭제곱 구조 ${\gamma }_n:ℐ(U)\to {𝒪}_X(U)$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 임의의 두 (자리스키) 열린집합 $V\subseteq U\subseteq X$ 및 $n>0$에 대하여, 다음 그림이 가환한다. (즉, 준층의 사상을 이룬다.)

  $\begin{array}{ccc}ℐ(U)& \stackrel{{\gamma }_n}{\to }& ℐ(U)\\ {\mathrm{res}}_{U,V}^{ℐ}\downarrow {\mathrm{res}}_{U,V}^{ℐ}& & {\mathrm{res}}_{U,V}^{ℐ}\downarrow {\mathrm{res}}_{U,V}^{ℐ}\\ ℐ(V)& \to {\gamma }_n& ℐ(V)\end{array}$

분할 거듭제곱 스킴 사이의 사상 역시 분할 거듭제곱 환 사이의 준동형과 유사하게 정의된다.

성질

임의의 분할 거듭제곱 환 $(R,\Im ,\gamma )$에서, 다음이 성립한다.

$r^n=n!{\gamma }_n(r)(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},r\in \Im )$

물론, 만약 $R$에서 $n!=0$이라면, 좌변과 우변 둘 다 0이다.

증명:

분할 거듭제곱 구조의 공리에 따라,

$r{\gamma }_n(r)={\gamma }_1(r){\gamma }_n(r)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{1}){\gamma }_{n+1}(r)=(n+1){\gamma }_{n+1}(r)$

이다. 이를 반복하면

$r^n=1\cdot r^{n-1}{\gamma }_1(r)=1\cdot 2\cdot r^{n-2}{\gamma }_2(r)=\cdots =n!{\gamma }_n(r)$

을 얻는다.

분할 거듭제곱 포락

다음이 주어졌다고 하자.

• 분할 거듭제곱 환 $(A,\Im ,\gamma )$
• 가환환 $B$
• 환 준동형 $f:A\to B$
• $B$의 아이디얼 $𝔍\subseteq B$. 또한, $f(\Im )B\subseteq 𝔍$라고 하자.

그렇다면, 다음 보편 성질을 만족시키는 분할 거듭제곱 환 $(\overline{B},\overline{𝔍},\delta )$가 항상 존재함을 보일 수 있다.

임의의 분할 거듭제곱 환 $(C,𝔎,\epsilon )$에 대하여,

${\mathrm{hom}}_{\mathrm{PDRing}/(A,\Im ,\gamma )}((\overline{B},\overline{𝔍},\delta ),(C,𝔎,\epsilon ))={\mathrm{hom}}_{\mathrm{CRingIdeal}/(A,\Im )}((B,𝔍),(C,𝔎))$

여기서

• $\mathrm{PDRing}$은 분할 거듭제곱 환의 범주이다.
• $\mathrm{CRingIdeal}$은 가환환의 아이디얼들의 범주이다. 즉,
  • $\mathrm{CRingIdeal}$의 대상 $(R,ℐ)$은 가환환 $R$와 그 속의 아이디얼 $\Im \subseteq R$의 순서쌍이다.
  • $\mathrm{CRingIdeal}$의 사상 $f:(R,ℐ)\to (S,𝔍)$은 $f(\Im )S\subseteq 𝔍$인 환 준동형 $f:R\to S$이다.
• $/$은 조각 범주를 뜻한다.

이 보편 성질을 만족시키는 분할 거듭제곱 환 $(\overline{B},\overline{𝔍},\delta )$을 $(B,𝔍)$ 위의 분할 거듭제곱 포락(分割-包絡, 영어: divided power envelope)이라고 한다. 즉, 이는 아이디얼에 분할 거듭제곱 구조를 “가장 자연스럽게” 부여한 것이다.

분할 거듭제곱 미분

고전적인 켈러 미분의 이론은 양의 표수에서 잘 작동하지 않는다. 분할 거듭제곱 환의 이론을 사용하면, 양의 표수에서도 공사슬 복합체를 이루는 분할 거듭제곱 드람 복합체를 정의할 수 있다.

구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• 분할 거듭제곱 환 $(R,\Im ,\gamma )$
• 환 준동형 $f:K\to R$

켈러 미분의 가군과 유사하게, 분할 거듭제곱 미분 가군(分割-微分加群, 영어: module of divided-power differentials) ${\Omega }_{R/K,\Im ,\gamma }^1$를 다음과 같은 항등식들을 만족시키는 $\mathrm{d}b$들로 생성되는 $K$-가군으로 정의할 수 있다.

$\mathrm{d}(r+s)=\mathrm{d}b+\mathrm{d}s(r,s\in R)$

$\mathrm{d}(rs)=(\mathrm{d}r)s+r(\mathrm{d}s)(r,s\in R)$

$\mathrm{d}f(\lambda )=0\mathrm{\forall }\lambda \in K$

$\mathrm{d}({\gamma }_n(r))={\gamma }_{n-1}\mathrm{d}r\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{Z}}^{+},r\in R$

이것이 보통 켈러 미분하고 다른 점은 넷째 조건 밖에 없다.

이제, 켈러 미분과 마찬가지로

${\Omega }_{R/K,\Im ,\gamma }^n=\underset{R}{\overset{n}{\bigwedge }}{\Omega }_{R/K,\Im ,\delta }^1$

$\mathrm{d}:(r_0(\mathrm{d}{r}_1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{r}_n))\mapsto \mathrm{d}{r}_0\wedge \mathrm{d}{r}_1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{r}_n(r_0,r_1,\dots ,r_n\in R)$

를 정의하면, 이것이 다음과 같은 공사슬 복합체를 이룸을 보일 수 있다.

${\Omega }_{R/K,\Im ,\gamma }^0\stackrel{\mathrm{d}}{\to }{\Omega }_{R/K,J,\delta }^1\stackrel{\mathrm{d}}{\to }{\Omega }_{R/K,\Im ,\gamma }^2\stackrel{\mathrm{d}}{\to }{\Omega }_{R/K,\Im ,\gamma }^3\stackrel{\mathrm{d}}{\to }\cdots$

이를 분할 거듭제곱 드람 복합체(分割-de Rham複合體, 영어: divided-power de Rham complex)라고 한다.

이 드람 복합체의 존재는 궁극적으로 구조층 ${𝒪}_{R/S}$가 결정 위치 위의 결정이기 때문이다.

예

표수 0의 대수

표수 0의 체 $K$ 위의 가환 결합 대수 $A$의 임의의 아이디얼 $\Im \subseteq A$ 위에는 유일한 분할 거듭제곱 구조가 존재하며, 다음과 같다.

${\gamma }_n(x)=\frac{1}{n!}\cdot x^n$

증명:

$A$에서는 $n!$이 가역원이다. 이에 따라 $x^n=n!{\gamma }_n(x)$이므로 ${\gamma }_n(x)=x^n/n!$이다.

물론, 이 경우 $\Im =A$로 놓을 수 있다.

자유 분할 거듭제곱 구조

가환환

$\mathbb{Z}⟨x⟩:=\mathbb{Z}[x,\frac{x^2}{2},\dots ,\frac{x^n}{n!},\dots ]\subset \mathbb{Q}[x]$

의 주 아이디얼 $(x)$ 위에는 다음과 같은 분할 거듭제곱 구조가 존재한다.

${\gamma }_n(x)=\frac{x^n}{n!}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

이 분할 거듭제곱 대수는 하나의 생성원에 대한 자유 $\mathbb{Z}$-분할 거듭제곱 대수이다. 여기서 “자유”라는 것은, 범주 이론의 의미로 붙인 것이다.

분할 거듭제곱 다항식환

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $R$
• 유한 집합 $I$

그렇다면, 분할 거듭제곱 단항식(分割-單項式, 영어: divided power monomial)은 다음과 같은 꼴의 형식적 단항식이다.

$r\prod _{i\in I}{x}_i^{[n_i]}((n_i{)}_{i\in I}\in {\mathbb{N}}^I,r\in R)$

이와 같은 분할 거듭제곱 단항식들의 (유한 개의) 합들로 구성된 가환 $R$-결합 대수 $R⟨(x_i{)}_{i\in I}⟩$를 분할 거듭제곱 다항식환(分割-多項式環, 영어: divided power polynomial ring)이라고 한다.

이 속에서, 양의 차수(즉, $\sum _i{n}_i>0$인 것)인 분할 거듭제곱 단항식들로 구성된 아이디얼을 생각할 수 있다. 이 위에는

${\lambda }_n(x_i^{[m]})=\frac{(mn)!}{(m!{)}^{n}n!}{x}_i^{[mn]}(m,n\in \mathbb{N},i\in I)$

와 같은 표준적인 분할 거듭제곱 구조가 주어진다.

양의 표수

양의 표수의 체 위의 가환 결합 대수의 경우, $x^n=n!{\gamma }_n(x)$는 성립하더라도, $n!$로 나눌 수 없는 경우가 생길 수 있으므로, 분할 거듭제곱 구조는 유일하지 않을 수 있다.

예를 들어, 만약

• 소수 $p$의 표수를 갖는 가환환 $A$
• ${\Im }^p=0$인 멱영 아이디얼 $\Im \subseteq A$

에 대하여, 다음과 같은 분할 거듭제곱 구조를 정의할 수 있다.

${\gamma }_n(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^n/n!& n<p\\ 0& n\ge p\end{array}$

일반적으로 양의 표수의 환에서 주의할 점 하나는, 아이디얼 ${\Im }^p$과, 모든 $x\in \Im$에 대해 $x^p$로 생성된 아이디얼 사이에는 차이가 있다는 점이다. 전자는 0이 아닐 수 있지만, 후자의 경우는 분할 거듭제곱 구조가 존재한다면 항상 0이 된다는 것을 증명할 수 있다.

응용

분할 거듭제곱 구조는 분할 거듭제곱 미분 연산자의 이론이나 결정 코호몰로지 이론에서 기본적인 도구로 사용된다. 이를 이용하여, 양의 표수를 가지는 환에서의 기술적인 어려움들이 극복될 수 있다.

구체적으로, 양의 표수 $p$의 경우, 에탈 코호몰로지는 $\ell \ne p$인 경우에서만 유용하다. 직관적으로, 표수 $p$의 가환환 $A$ 위의 다항식환 $A[x]$에서, 미분의 곱 규칙

$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$

을 생각하자. 만약 $p\mid n$일 경우

$(x^n{)}^{\prime }=0$

이 된다. 이 때문에 쿠머 열(영어: Kummer sequence)이 $\ell =p$에서는 에탈 위상 위에서 완전열이 되지 못하게 된다.

이를 해결하기 위해서는 앞에 붙는 $n$을 처리해야만 한다. 이러한 미분을 위해서, 다음과 같은 특수한 곱을 정의하자.

$x^{[m]}{y}^{[n]}=\frac{(m+n)!}{m!n!}{x}^m{y}^n$

그렇다면, 여기에 미분 구조를 주었다고 하면

$(x^{[n]}{)}^{\prime }=x^{[n-1]}$

가 되며, 골칫거리인 $n$이 사라지게 된다.

즉, 가환환 $A$에 대하여, 다음과 같은 정의를 생각할 수 있다.

$A⟨x_1,x_2,\cdots ,x_n⟩=\{\sum _{i_1,\cdots ,i_n}{a}_{i_1,\cdots ,i_n}{x}_1^{[i_1]}\cdots x_n^{[i_n]}|a_{i_1,\cdots ,i_n}\in A\}$

이와 같은 구성을 조금 더 일반화하면, 분할 거듭제곱 환 및 분할 거듭제곱 스킴의 개념에 도달하게 된다.

보통, 대수기하학에서는 멱영 아이디얼 위의 분할 거듭제곱 구조만을 고려하는데, 이는 분할 거듭제곱 구조를 주어야 하는 곳은 한정되어야 하기 때문이다. 예를 들면, $A⟨x⟩$같은 경우는 $x$로 생성되는 주 아이디얼에만 “작업을 가하면” 된다. 우리가 어려움을 겪는 이유는 $x$가 들어간 것의 미분 때문이기 때문이다. 아이디얼을 더 크게 잡으면, 망가지지 말아야 할 $A$의 연산도 망가지게 된다.

같이 보기

• 결정 코호몰로지

참고 문헌

• Berthelot, Pierre; Ogus, Arthur (1978). 《Notes on Crystalline Cohomology》 (영어). Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press. Zbl 0383.14010. 
• Hazewinkel, Michiel (1978). 《Formal Groups and Applications》 (영어). Pure and applied mathematics 78. Elsevier. ISBN 0123351502. Zbl 0454.14020. 
• Berthelot, Pierre (1974). 《Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p>0》 (프랑스어). Lecture Notes in Mathematics 407. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0068636. ISBN 978-3-540-06852-5. MR 0384804. 

외부 링크

• Ward, Matt (2011년 6월 22일). “Divided power structures 1” (영어). 《A Mind for Madness》. 2014년 10월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 6일에 확인함. 
• Ward, Matt (2011년 6월 26일). “Divided power structures 2” (영어). 《A Mind for Madness》. 2014년 10월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 6일에 확인함. 
• Ward, Matt (2011년 7월 4일). “Divided powers 3” (영어). 《A Mind for Madness》. 2014년 10월 24일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 6일에 확인함. 
• Ward, Matt (2011년 7월 7일). “Divided powers 4” (영어). 《A Mind for Madness》. 2014년 10월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 6월 6일에 확인함.