분해 불가능 대상

범주론에서 분해 불가능 대상(分解不可能對象, 영어: indecomposable object)은 더 작은 대상들의 쌍대곱으로 나타낼 수 없는 대상이다.

정의

시작 대상 $0 \in 𝒞$ 및 모든 쌍대곱을 갖는 범주 $𝒞$ 의 대상 $X$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, 분해 불가능 대상(영어: indecomposable object)이라고 한다.

임의의 대상들의 집합 ${X_{i}}_{i \in I}$ 및 동형 $\underset{i \in I}{∐} X_{i} : X$ 에 대하여, $X ≅ X_{i_{0}}$ 이며 $X_{i} ≅ 0 \forall i \in I ∖ {i_{0}}$ 가 되는 $i_{0} \in I$ 가 유일하게 존재한다.

여기서 $∐$ 는 쌍대곱을 뜻한다.

마찬가지로, 끝 대상 $1 \in 𝒞$ 및 모든 곱을 갖는 범주 $𝒞$ 의 대상 $X$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, 쌍대 분해 불가능 대상(영어: coindecomposable object)이라고 한다.

임의의 대상들의 집합 ${X_{i}}_{i \in I}$ 및 동형 $\prod_{i \in I} X_{i} : X$ 에 대하여, $X ≅ X_{i_{0}}$ 이며 $X_{i} ≅ 1 \forall i \in I ∖ {i_{0}}$ 가 되는 $i_{0} \in I$ 가 유일하게 존재한다.

여기서 $\prod$ 는 곱을 뜻한다.

예

집합

집합과 함수의 범주 $Set$ 에서, 분해 불가능 대상은 한원소 집합이다.

준층

작은 범주 $𝒞$ 가 주어졌을 때, 준층 범주 ${Set}^{𝒞^{op}}$ 속의 대상 $ℱ$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]^{:Proposition 1.5}

분해 불가능 대상이며, 사영 대상이다.
$ℱ$ 에서 어떤 표현 가능 준층 ${hom}_{𝒞} (-, X)$ 으로 가는 분할 단사 사상 $ℱ \to {hom}_{𝒞} (-, X)$ 이 존재한다.

가군

환 $R$ 가 주어졌을 때, 분해 불가능 왼쪽 가군(영어: indecomposable left module)은 $R$ -왼쪽 가군 범주 $_{R} Mod$ 의 분해 불가능 대상이다. (오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 정의할 수 있다.) 즉, $M = M^{'} \oplus M^{″}$ 와 같은 꼴로 분해할 수 없는 가군을 뜻한다.

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R} M$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

분해 불가능 가군이다.
영가군이 아니며, 자기 사상환 $End (_{R} M,_{R} M)$ 의 모든 멱등원은 0 또는 1이다.

이는 만약 자기 사상환 $End (_{R} M,_{R} M)$ 의 멱등원 $f : M \to M$ 이 주어졌을 때, $M = \ker f \oplus im f$ 가 되기 때문이다.

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R} M$ 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

유한한 길이를 갖는다.
뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.
합성열을 갖는다.

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R} M$ 이 유한한 길이를 갖는다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

분해 불가능 가군이다.
영가군이 아니며, 자기 사상환 $End (_{R} M,_{R} M)$ 은 국소환이다.
(피팅 보조정리, 영어: Fitting lemma) 모든 자기 사상은 자기 동형 사상이거나 멱영 함수이다.

이는 자기 사상 $f : M \to M$ 이 주어졌을 때, 충분히 큰 $k \in ℕ$ 에 대하여 $M = \ker f^{k} \oplus im f^{k}$ 임을 보여 증명할 수 있다.

체 $K$ 위의 가군(=벡터 공간)의 경우, 분해 불가능 벡터 공간은 1차원 벡터 공간과 동치이다.

모든 왼쪽 아르틴 가군은 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군들의 직합과 동형이다. 크룰-슈미트 정리(영어: Krull-Schmidt theorem)에 따르면, 환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R} M$ 이 유한한 길이를 갖는다면, $M$ 을 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군의 직합으로 나타내는 방법은 유일하다. 즉, 만약 $M$ 이 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군의 직합 $M_{1} \oplus \dots \oplus M_{r}$ 및 $N_{1} \oplus \dots \oplus N_{s}$ 와 동형이라면, $r = s$ 이며, $M_{i} ≅ N_{j (i)} \forall i \in {1, \dots, r}$ 인 $j \in Sym (r)$ 가 존재한다.

모든 단순 가군은 분해 불가능 가군이다. 그러나 단순 가군이 아닌 분해 불가능 가군이 존재한다.

군

군에 대하여 가군과 유사한 결과들이 존재한다.

군 $G$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

쌍대 분해 불가능 군이다. 즉, 군의 범주 $Grp$ 의 쌍대 분해 불가능 대상이다. 즉, 만약 $G ≅ H \times K$ 라면, $H = 1$ 과 $K = 1$ 가운데 정확히 하나가 성립한다.
모든 내부 자기 동형 사상과 가환하는, 자기 사상 모노이드 $End (G)$ 의 멱등원은 0 또는 1이다. (여기서 0은 모든 원소를 군의 항등원으로 대응시키는 자기 사상 $g \mapsto 1$ 이다.)

군 $G$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건 및 내림 사슬 조건을 만족한다.
주합성열을 갖는다.

군 $G$ 의 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건 및 내림 사슬 조건을 만족시킨다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

쌍대 분해 불가능 군이다.
자명군이 아니며, 임의의 두 자기 사상 $ϕ, ψ \in End (G)$ 에 대하여, 만약 $ϕ$ 와 $ψ$ 가 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하며, $ϕ (G)$ 의 원소와 $ψ (G)$ 의 원소가 가환하며, $ϕ$ 와 $ψ$ 가 자기 동형 사상이 아니라면, 자기 사상 $ϕ + ψ : g \mapsto ϕ (g) ψ (g)$ 역시 자기 동형 사상이 아니다.^[2]^{:156, Corollary 2}
(피팅 보조정리, 영어: Fitting lemma) 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하는 모든 자기 사상은 자기 동형 사상이거나 멱영 함수이다. (여기서 멱영 함수는 충분히 거듭 합성하면 0이 되는 함수를 뜻한다.)^[2]^{:156, Corollary 1}

군 $G$ 의 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 내림 사슬 조건을 만족시킨다면, $G$ 는 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군의 직접곱과 동형이다. 크룰-슈미트 정리(영어: Krull-Schmidt theorem)에 따르면, 군 $G$ 의 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건 및 내림 사슬 조건을 만족시킨다면, $G$ 를 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군들의 직접곱으로 나타내는 방법은 유일하다. 즉, 만약 $G$ 가 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군들의 직접곱 $G_{1} \times \dots \times G_{r}$ 및 $H_{1} \times \dots \times H_{s}$ 와 동형이라면, $r = s$ 이며, $G_{i} ≅ H_{j (i)} \forall i \in {1, \dots, r}$ 인 $j \in Sym (r)$ 가 존재한다.^[2]^:156–157

참고 문헌

↑ Moerdijk, I.; van Oosten, J. (2007). “Topos theory” (PDF) (영어).
↑ ^가 ^나 ^다 Jacobson, Nathan (1951). 《Lectures in abstract algebra. I. Basic concepts》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 30. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4684-7301-8. ISBN 978-1-4684-7303-2. ISSN 0072-5285. MR 0392227. Zbl 0326.00001.

외부 링크

“indecomposable object” (영어). 《nLab》.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Indecomposable module” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Directly indecomposable group” (영어). 《Groupprops》.
“Krull-Remak-Schmidt theorem” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.

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[1] Moerdijk, I.; van Oosten, J. (2007). “Topos theory” (PDF) (영어).

[JacobsonI-2] 가 ^나 ^다 Jacobson, Nathan (1951). 《Lectures in abstract algebra. I. Basic concepts》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 30. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4684-7301-8. ISBN 978-1-4684-7303-2. ISSN 0072-5285. MR 0392227. Zbl 0326.00001.

[1]

[2]