불변 부분 공간

선형대수학에서, 선형 변환의 불변 부분 공간(不變部分空間, invariant subspace)은 그 선형 변환에 대하여 닫혀있는 부분 벡터 공간이다.

정의

체 $K$ 에 대한 벡터 공간 $V$ 위의 선형 변환 $T : V \to V$ 가 주어졌다고 하자. 부분 벡터 공간 $W \subset V$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $W$ 를 $T$ -불변 부분 공간이라고 한다.

보다 일반적으로, $V$ 위의 선형 변환의 족 $𝒯$ 가 주어졌다고 하자. 부분 벡터 공간 $W \subset V$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $W$ 를 $𝒯$ -불변 부분 공간이라고 한다.

선형 변환 $T, U : V \to V$ 가 $T U = U T$ 를 만족시킨다면, $\ker U$ 와 $U (V)$ 는 $T$ -불변 부분 공간이다.

증명:

임의의 $v \in \ker U$ 에 대하여,

U T v = T U v = T 0 = 0

이므로, $T v \in \ker U$ . 또한, 임의의 $U v \in U (V)$ 에 대하여,

T U v = U T v \in U (V)

특히, $T$ 는 다음과 같은 불변 부분 공간을 갖는다.

선형 변환 $T : V \to V$ 를 $T$ -불변 부분 공간 $W$ 에 제한시키면 다음과 같은 선형 변환 $T |_{W}$ 를 얻을 수 있다.

T |_{W} : W \to W

T |_{W} : w \mapsto T w

또한, 몫 벡터 공간 $V / W$ 위에 다음과 같은 선형 변환 $T_{/ W}$ 를 유도할 수 있다.

T_{/ W} : V / W \to V / W

T_{/ W} : v + W \mapsto T v + W

$T |_{W}$ 의 특성 다항식은 $T$ 의 특성 다항식을 나누며, $T |_{W}$ 의 최소 다항식은 $T$ 의 최소 다항식을 나눈다.

다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, $T, T |_{W}, T_{/ W}$ 의 행렬

A = [T]_{(v_{i})_{i = 1}^{n}}

B = [T |_{W}]_{(v_{i})_{i = 1}^{r}}

C = [T_{/ W}]_{(v_{i} + W)_{i = r + 1}^{n}}

사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.

A = (\begin{matrix} B & D \\ 0 & C \end{matrix}) D \in Mat (r, n - r; K)

다음이 주어졌다고 하자.

유한 $n$ 차원 벡터 공간 $V$
선형 변환 $T : V \to V$
$T$ -불변 부분 공간 $W_{1}, W_{2}, \dots, W_{k}$ . 또한, $V = W_{1} \oplus W_{2} \oplus \dots \oplus W_{k}$
$W_{i}$ 의 기저 ${v_{i 1}, v_{i 2}, \dots, v_{i r_{i}}}$

그렇다면, $T, T |_{W_{1}}, T |_{W_{2}}, \dots, T |_{W_{k}}$ 의 위에서 정한 기저에 대한 행렬 $A, A_{1}, A_{2}, \dots, A_{k}$ 사이에 다음 관계가 성립한다.

A = (\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \\ ⋱ \\ A_{k} \end{matrix})