브라마굽타 정리

기하학에서 브라마굽타 정리(Brahmagupta定理, 영어: Brahmagupta's theorem)는 두 대각선이 직교하고 원에 내접하는 사각형의 두 대각선의 교점에서 한 변에 내린 수선은 대변을 이등분한다는 정리이다.^{:59, §3.2, Theorem 3.23} 사실 임의의 내접 사각형의 각 변의 중점에서 대변에 내린 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 내접 사각형의 반중심이라고 한다. 이 경우 브라마굽타 정리는 직교대각선 내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 교점이라는 내용이다.

정의

직교대각선 내접 사각형 $ABCD$의 두 대각선 $AC$, $BD$의 교점을 $P$라고 하고, $P$를 지나는 $BC$의 수선의 $BC$, $AD$와의 교점을 $E$, $F$라고 하자. 브라마굽타 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

$AF=FD$

즉, 직교대각선 내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 교점이다.

증명

외접원의 호 $AB$의 두 원주각 $\mathrm{\angle }ACB$와 $\mathrm{\angle }ADB$의 크기는 같다. 또한, $\mathrm{\angle }BPC$와 $\mathrm{\angle }PEC$는 모두 직각이므로, $\mathrm{\angle }ACB$와 $\mathrm{\angle }BPE$는 모두 $\mathrm{\angle }PBC$의 여각이다. 또한, 맞꼭지각 $\mathrm{\angle }BPE$와 $\mathrm{\angle }DPF$의 크기는 같다. 즉,

$\mathrm{\angle }ADB=\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }BPE=\mathrm{\angle }DPF$

이다. 따라서

$PF=FD$

이다. 마찬가지로

$PF=AF$

를 보일 수 있다.

일반화

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내접 사각형 $ABCD$의 대각선 $AC$, $BD$의 중점을 $M$, $N$이라고 하고, 두 대각선의 교점을 $P$라고 하자. 그렇다면, 이 내접 사각형의 반중심은 삼각형 $PMN$의 수심이다.^{:39, §4.2} 두 대각선이 직교할 경우 삼각형 $PMN$은 $P$에서 직각을 갖는 직각 삼각형이며, 이 삼각형의 수심은 두 대각선의 교점 $P$이다. 즉, 브라마굽타 정리는 이 명제의 특수한 경우이다.

역사

인도의 수학자 브라마굽타가 발견하였다.^{:59, §3.2}

같이 보기

• 브라마굽타 공식

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Brahmagupta's theorem” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.