브뤼아 분해

리 군 이론에서, 브뤼아 분해(영어: Bruhat decomposition)는 가우스-요르단 소거법을 임의의 리 군에 대하여 일반화한 분해이다.

정의

$G$가 대수적으로 닫힌 체에 대한 연결 가약군이라고 하자. 그렇다면, $G$의 보렐 부분군(최대 가해 부분군)을 $B\subset G$라고 하며, $G$의 바일 군을 $W$라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

$G=\underset{w\in W}{⨆}BwB$

여기서

$BwB=\{b_{1}w{b}_2|b_1,b_2\in B\}$

는 양방향 잉여류이며, $⨆$은 서로소 합집합을 의미한다.

예

$k$가 대수적으로 닫힌 체라고 하고, $G$가 일반선형군 $\mathrm{GL}(n;k)$라고 하자. 그렇다면 그 보렐 부분군은 상삼각행렬군

$\mathrm{Upper}(n;k)=\{M\in \mathrm{GL}(n;k)|\mathrm{\forall }i>j:M_{ij}=0\}$

이며, 그 바일 군은 대칭군 $\mathrm{Weyl}(G)=S_n$이다. 그렇다면 브뤼아 분해에 따라서 임의의 가역 정사각행렬 $M\in \mathrm{GL}(n;k)$을 다음과 같이 분해할 수 있다.

$M=U_{1}P{U}_2$

여기서 $U_1,U_2\in \mathrm{Upper}(n;k)$이며, $P$는 치환행렬(permutation matrix)이다. 즉,

$U_1^{-1}M{U}_2^{-2}=P$

이다. 따라서, 모든 가역행렬은 양쪽에 상삼각행렬들을 곱해 치환행렬로 놓을 수 있다. 이것은 사실상 연립일차방정식의 풀이와 같으며, 즉 가우스 소거법에 해당한다.

슈베르트 세포와의 관계

리 군을 그 보렐 부분군에 대하여 잉여류 공간을 취한 몫공간을 (일반화) 깃발 공간(영어: flag variety)이라고 하며, 브뤼아 분해는 깃발 공간의 세포 분해를 정의한다. 이 경우, 바일 군의 각 원소는 깃발 공간의 세포에 대응하며, 이를 슈베르트 세포(영어: Schubert cell)라고 한다. 슈베르트 세포의 차원은 대응하는 바일 군의 (콕서터 군으로서의) 단어 길이(영어: word length, 군의 원소를 반사들의 합성으로 썼을 때 반사들의 수의 최솟값)이다.

예를 들어, 최고차 슈베르트 세포는 유일하며, 이는 콕서터 군의 유일한 최장(最長) 원소에 대응한다.

역사

프랑수아 브뤼아(프랑스어: François Bruhat)가 고전군에 대하여 정의하였고, 이를 클로드 슈발레가 일반화하였다.

각주

• Bump, Daniel (2013). 《Lie groups》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 225. Springer. doi:10.1007/978-1-4614-8024-2. ISBN 978-1-4614-8024-2. ISSN 0072-5285. 
• Lusztig, G. (2010). “Bruhat decomposition and applications” (영어). arXiv:1006.5004. Bibcode:2010arXiv1006.5004L. 

같이 보기

• 이와사와 분해

외부 링크

• “Bruhat decomposition” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.