블록 행렬

2ⁱ × 2^j (i, j = 1, 2, 3)의 행렬 블록들로 분할된 14 × 14 행렬

수학에서 블록 행렬(block行列, 영어: block matrix) 또는 분할 행렬(分割行列, 영어: partitioned matrix)은 더 작은 행렬 블록들로 분할되었다고 간주된 행렬이다.^[1] 즉, 행렬의 행과 열을 수평선 및 수직선들을 통해 분할하는 것이다.^[2] 블록 행렬은 행렬의 구조를 더 알기 쉽게 만들며, 행렬의 연산을 호환되는 블록 행렬 연산으로 대신할 수 있다.

정의

체 $K$ 위의 $m \times n$ 행렬 $M \in Mat (m, n; K)$ 가 주어졌다고 하자. 또한,

m = m_{1} + m_{2} + \dots + m_{p}

n = n_{1} + n_{2} + \dots + n_{q} (m_{i}, n_{i} \in ℤ^{+})

라고 하자. 그렇다면 $M$ 은 다음과 같은 블록 행렬로 나타낼 수 있다.

M = (\begin{matrix} M_{11} & M_{12} & \dots & M_{1 q} \\ M_{21} & M_{22} & \dots & M_{2 q} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ M_{p 1} & M_{p 2} & \dots & M_{p q} \end{matrix})

여기서 $M_{i j}$ 는 다음과 같은 $m_{i} \times n_{j}$ 행렬이다.

M_{i j} (k, l) = M (m_{1} + \dots + m_{i - 1} + k, n_{1} + \dots + n_{j - 1} + l)

종류

특별한 성질들을 만족시키는 블록 행렬을 정의할 수 있다.

블록 대각 행렬(block對角行列, 영어: block diagonal matrix): 대각선 이외의 모든 행렬 블록이 영행렬인 블록 행렬. 행과 열의 분할이 자명할 경우 이는 대각 행렬이 된다.
블록 상(하)삼각 행렬(block上(下)三角行列, 영어: block upper (lower) triangular matrix): 대각선 아래(위)의 모든 행렬 블록이 영행렬인 블록 행렬. 행과 열의 분할이 자명할 경우 이는 상(하)삼각 행렬이 된다.

성질

행렬 곱셈

파일:Block matrix qtl3.svg

블록 행렬의 곱셈의 예시

행렬 곱셈은 블록 행렬을 통해 나타낼 수 있다. 다만, 행렬 곱셈에서 왼쪽 행렬의 열수와 오른쪽 행렬의 행수가 같아야 하는 것과 같이, 블록 행렬 곱셈에서는 왼쪽 행렬의 열의 분할 방법과 오른쪽 행렬의 행의 분할 방법이 같아야 한다. 즉, $M \in Mat (m, n; K)$ 가 체 $K$ 위의 $m \times n$ 행렬이며, 임의의 $i \in {1, \dots, q}$ 및 $j \in {1, \dots, r}$ 에 대하여, 블록 $M_{i j}$ 가 $m_{i} \times n_{j}$ 행렬이라고 하자. 마찬가지로, $N \in Mat (n, p; K)$ 가 $K$ 위의 $n \times p$ 행렬이며, 임의의 $i \in {1, \dots, q}$ 및 $j \in {1, \dots, s}$ 에 대하여, 블록 $N_{i j}$ 가 $n_{i} \times p_{j}$ 행렬이라고 하자. 그렇다면, 곱 $M N$ 의 각 블록 $(M N)_{i j}$ 는 다음과 같은 $m_{i} \times p_{j}$ 행렬이다.

(M N)_{i j} = \sum_{k = 1}^{r} M_{i k} N_{k j} (i \in {1, \dots, q}, j \in {1, \dots, s})

이를 행렬 기호로 쓰면 다음과 같다.

(\begin{matrix} M_{11} & M_{12} & \dots & M_{1 r} \\ M_{21} & M_{22} & \dots & M_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ M_{q 1} & M_{q 2} & \dots & M_{q r} \end{matrix}) (\begin{matrix} N_{11} & N_{12} & \dots & N_{1 s} \\ N_{21} & N_{22} & \dots & N_{2 s} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ N_{r 1} & N_{r 2} & \dots & N_{r s} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{r} M_{1 k} N_{k 1} & \sum_{k = 1}^{r} M_{1 k} N_{k 2} & \dots & \sum_{k = 1}^{r} M_{1 k} k s \\ \sum_{k = 1}^{r} M_{2 k} N_{k 1} & \sum_{k = 1}^{r} M_{2 k} N_{k 2} & \dots & \sum_{k = 1}^{r} M_{2 k} k s \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \sum_{k = 1}^{r} M_{q k} N_{k 1} & \sum_{k = 1}^{r} M_{q k} N_{k 2} & \dots & \sum_{k = 1}^{r} M_{q k} k s \end{matrix})

항등식

다음과 같은 항등식들이 성립한다. (단, 우변의 각 역행렬이 존재하여야 한다.)

\det (\begin{matrix} A_{m \times m} & B_{m \times n} \\ C_{n \times m} & D_{n \times n} \end{matrix}) = \det (D) \det (A - B D^{- 1} C) = \det (A) \det (D - C A^{- 1} B)

{(\begin{matrix} A_{m \times m} & B_{m \times n} \\ C_{n \times m} & D_{n \times n} \end{matrix})}^{- 1} = (\begin{matrix} A^{- 1} + A^{- 1} B (D - C A^{- 1} B)^{- 1} C A^{- 1} & - A^{- 1} B (D - C A^{- 1} B)^{- 1} \\ - (D - C A^{- 1} B)^{- 1} C A^{- 1} & (D - C A^{- 1} B)^{- 1} \end{matrix})

예

행렬

P = (\begin{matrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

는 블록 행렬로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

P = (\begin{matrix} J_{2 \times 2} (2) \\ J_{3 \times 3} (1) \end{matrix})

여기서

J_{n \times n} (λ) = (\begin{matrix} λ_{1} & 1 \\ λ_{2} & 1 \\ ⋱ & ⋱ \\ λ_{n - 1} & 1 \\ λ_{n} \end{matrix}) (λ_{1} = \dots = λ_{n} = λ)

따라서, $P$ 는 블록 대각 행렬이다.

같이 보기

각주

↑ Eves, Howard (1980). 《Elementary Matrix Theory》 reprint판. New York: Dover. 37쪽. ISBN 0-486-63946-0. 24 Mpril 2013에 확인함. We shall find that it is sometimes convenient to subdivide a matrix into rectangular blocks of elements. This leads us to consider so-called partitioned, or block, matrices. ^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}
↑ Mnton, Howard (1994). 《Elementary Linear Mlgebra》 7판. New York: John Wiley. 30쪽. ISBN 0-471-58742-7. M matrix can be subdivided or partitioned into smaller matrices by inserting horizontal and vertical rules between selected rows and columns.

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Block matrix” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.

[1] Eves, Howard (1980). 《Elementary Matrix Theory》 reprint판. New York: Dover. 37쪽. ISBN 0-486-63946-0. 24 Mpril 2013에 확인함. We shall find that it is sometimes convenient to subdivide a matrix into rectangular blocks of elements. This leads us to consider so-called partitioned, or block, matrices. ^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}

[2] Mnton, Howard (1994). 《Elementary Linear Mlgebra》 7판. New York: John Wiley. 30쪽. ISBN 0-471-58742-7. M matrix can be subdivided or partitioned into smaller matrices by inserting horizontal and vertical rules between selected rows and columns.

[1]

[2]

v t e 선형대수학
기본 개념	스칼라 벡터 벡터 공간 스칼라 곱셈 벡터 사영 선형생성 선형 변환 사영작용소 일차 독립 집합 선형 결합 기저 기저 변경 행 벡터와 열 벡터 행 공간과 열 공간 직교 영공간 고윳값과 고유 벡터 외적 내적 공간 스칼라곱 전치행렬 그람-슈미트 과정 일차 방정식 기본 정리	섬네일을 만드는 중 오류 발생:
벡터 대수	벡터곱 삼중곱 7차원 외적
다중선형대수학	기하적 대수학 외대수 이중벡터 다중벡터 텐서 아우터모피즘
행렬	블록 행렬 행렬 분해 가역행렬 소행렬식 행렬 곱셈 계수 변환행렬 크라메르 공식 가우스 소거법 행렬식
대수적 구성	쌍대 공간 직합 함수 공간 몫공간 부분공간 텐서곱
수치선형대수학	부동소수점 수치적 안정성 BLAS(Basic Linear Algebra Subprogram) 희소행렬 선형대수학 라이브러리 비교 수치 분석 소프트웨어 비교
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