벡터곱

선형대수학에서 벡터곱(vector곱, 영어: vector product) 또는 가위곱(영어: cross product)은 수학에서 3차원 공간의 벡터들간의 이항연산의 일종이다. 연산의 결과가 스칼라인 스칼라곱과는 달리 연산의 결과가 벡터이다. 물리학의 각운동량, 로런츠 힘 등의 공식에 등장한다.

정의

두 벡터 $𝐚$ 와 $𝐛$ 의 벡터곱은 $𝐚 \times 𝐛$ 라 쓰고(쐐기곱과 연관지어 $𝐚 \land 𝐛$ 라고 쓰기도 한다.), 다음과 같이 정의된다.

𝐚 \times 𝐛 = \hat{𝐧} | 𝐚 | | 𝐛 | \sin θ

식에서 $θ$ 는 $𝐚$ 와 $𝐛$ 가 이루는 각을 나타내며, $\hat{𝐧}$ 은 $𝐚$ 와 $𝐛$ 에 공통으로 수직인 단위벡터를 나타낸다.

위 정의에서의 문제점은 $𝐚$ 와 $𝐛$ 에 공통으로 수직인 방향이 두개라는 점이다. 즉, $\hat{𝐧}$ 이 수직이면, $- \hat{𝐧}$ 도 수직이다.

어느 것을 두 벡터의 벡터곱으로 할 것인가는 벡터 공간의 방향(orientation)에 따라 달라진다. 오른손 좌표계에서는 $𝐚 \times 𝐛$ 는, $𝐚, 𝐛, 𝐚 \times 𝐛$ 가 오른손 좌표계 방향을 따르도록 정의되고, 왼손좌표계에선 마찬가지로 이 순서의 세 벡터가 왼손 좌표계 방향을 따르도록 정의된다. 이와 같이 좌표계의 방향성에 의존하기 때문에, 두 (참) 벡터의 벡터곱은 참 벡터가 아니라 유사벡터다. (반대로, 참 벡터와 유사벡터의 벡터곱은 참 벡터다, 하지만 유사벡터와 유사벡터의 벡터곱은 유사벡터다.)

벡터곱을 그림으로 표현해 보면, 다음과 같다.

파일:Cross product vector.svg

벡터곱의 정의

성질

a, b, c ∈ R³, α ∈ R이라 하자.

반대칭성 : a×b = -b×a

교환법칙이 성립하지 않음에 주의하자.

스칼라곱에 대한 선형성: (αa)×b = a×(αb) = α(a×b).

벡터의 덧셈에 대한 분배법칙: a×(b + c) = a×b + a×c

스칼라 삼중곱 : $𝐚 \cdot (𝐛 \times 𝐜) = 𝐛 \cdot (𝐜 \times 𝐚) = 𝐜 \cdot (𝐚 \times 𝐛) = \det (𝐚, 𝐛, 𝐜)$

벡터 삼중곱 또는 라그랑주 공식: a×(b×c) = b(a∙c)-c(a∙b)

벡터곱의 크기: ||a×b||² = (a·a)(b·b)-(a·b)²

||a×b|| = ||a|| ||b|| sin θ

여기서 θ는 a로부터 b까지의 각도이다. 위 성질 때문에 벡터곱의 크기는 두 벡터로 만들어지는 평행사변형의 면적으로 생각할 수 있다.

야코비 항등식: a×(b×c) + b×(c×a) + c×(a×b) = 0

수직성

a×b ⊥ a 이고 a×b ⊥ b이다.

두 벡터의 평행성 확인

a와 b가 모두 0벡터가 아닐 때, a×b = 0인 것은 a와 b가 서로 평행인 것과 동치이다.

유클리드 공간의 단위벡터의 벡터곱

유클리드 공간의 단위벡터 i, j, k는 주어진 데카르트 좌표계에서 다음 관계를 만족한다.

i×j = k, j×k = i, k×i = j

이 식을 이용해, 벡터곱의 좌표는 일부러 벡터 사이의 각을 계산할 필요 없이 다음과 같이 대수적으로 구할 수 있다.

𝐚 = a_{1} 𝐢 + a_{2} 𝐣 + a_{3} 𝐤 = [a_{1}, a_{2}, a_{3}]

𝐛 = b_{1} 𝐢 + b_{2} 𝐣 + b_{3} 𝐤 = [b_{1}, b_{2}, b_{3}]

로 표기할 때,

𝐚 \times 𝐛 = [a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}]

위에 쓰인 좌표는 다음과 같이 행렬식을 이용하여 간단히 쓸 수 있다.

𝐚 \times 𝐛 = \det [\begin{matrix} 𝐢 & 𝐣 & 𝐤 \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix}]

따라서 세 (열,행)벡터로 이루어진 행렬의 행렬식은 다음과 같이 세 벡터의 스칼라곱과 벡터곱으로 쓸 수 있다.

det(a,b,c) = a·(b×c).

사원수와 벡터곱

벡터곱은 또한 사원수의 연산을 이용해 관찰할 수 있다. 위에 나온 벡터곱에 대한 i, j, k에 대한 관계가 사원수의 연산에서 i, j, k가 만족하는 법칙과 같다는 것을 염두에 두면 다음 결과를 알 수 있다. 3차원 벡터

[a_{1}, a_{2}, a_{3}]

가 사원수

a_{1} i + a_{2} j + a_{3} k

를 나타낸다고 하면, 두 벡터가 나타내는 두 사원수 간의 연산결과에서 실수부를 떼어낸 부분이 바로 두 벡터의 벡터곱과 일치하게 된다. (실수부는 두 벡터의 스칼라곱값 × −1과 같게 된다.)

리 대수

분배성, 선형성, 야코비 항등식이 성립함으로써, R³에서의 벡터의 합과 벡터곱은 리 대수

𝔰 𝔲 (2)

를 이룬다. 즉, 그 구조 상수는 레비치비타 기호

ϵ^{i j k}

이다.

외적(外積, exterior product)과의 관계

여기서, 굵은 글씨체의 지표는 추상지표표기법의 지표, 보통 글씨체의 지표는 좌표계의 성분을 의미한다.

3차원 유클리드 공간 $𝐑^{3}$ 에서 직교좌표계의 성분으로 표현된 두 벡터 $w^{𝐚} = (w^{1}, w^{2}, w^{3})$ 와 $v^{𝐚} = (v^{1}, v^{2}, v^{3})$ 의 외적은 다음과 같다.

w^{𝐚} \otimes v^{𝐛} = w^{𝐚} v^{𝐛}

여기서, 외적에 호지 쌍대를 취하면 벡터곱이 된다.

(w^{𝐜} \times v^{𝐝})^{𝐚} = [* (w^{𝐜} v^{𝐝})]^{𝐚} = g^{𝐚 𝐛} ϵ_{𝐛 𝐜 𝐝} v^{𝐜} w^{𝐝}

성분을 비교해보면 마지막 항이 벡터곱의 성분이 되는 것을 볼 수 있다. 유클리드 공간의 경우, $g^{𝐚 𝐛} = δ^{𝐚 𝐛}$ 이므로 (이 계량의 성분은 크로네커 델타.) 이를 간단히 전개해보면,

\begin{matrix} g^{𝐚 𝐛} ϵ_{𝐛 𝐜 𝐝} v^{𝐜} w^{𝐝} & = δ^{𝐚 𝐛} ϵ_{𝐛 𝐜 𝐝} v^{𝐜} w^{𝐝} \\ = δ^{𝐚 𝐛} (ϵ_{123} e_{𝐛}^{1} \land e_{𝐜}^{2} \land e_{𝐝}^{3}) v^{𝐜} w^{𝐝} \end{matrix}

여기서 $e_{𝐛}^{1} \land e_{𝐜}^{2} \land e_{𝐝}^{3}$ 를 전개하면 항이 6개가 나오고, bcd의 순열 순서에 따라 각 항의 부호가 결정되게 된다. 즉,

e_{𝐛}^{1} \land e_{𝐜}^{2} \land e_{𝐝}^{3} = e_{𝐛}^{1} e_{𝐜}^{2} e_{𝐝}^{3} + e_{𝐜}^{1} e_{𝐝}^{2} e_{𝐛}^{3} + e_{𝐝}^{1} e_{𝐛}^{2} e_{𝐜}^{3} - e_{𝐝}^{1} e_{𝐜}^{2} e_{𝐛}^{3} - e_{𝐛}^{1} e_{𝐝}^{2} e_{𝐜}^{3} - e_{𝐜}^{1} e_{𝐛}^{2} e_{𝐝}^{3}

이다. 그리고 여기에 $v^{𝐜} w^{𝐝}$ 를 곱하면

(e_{𝐛}^{1} \land e_{𝐜}^{2} \land e_{𝐝}^{3}) v^{𝐜} w^{𝐝} = e_{𝐛}^{1} (v^{2} w^{3} - v^{3} w^{2}) + e_{𝐛}^{2} (v^{3} w^{1} - v^{1} w^{3}) + e_{𝐛}^{3} (v^{1} w^{2} - v^{2} w^{1})

되고 마지막으로 $δ^{𝐚 𝐛} ϵ_{123}$ 을 곱하면

g^{𝐚 𝐛} ϵ_{𝐛 𝐜 𝐝} v^{𝐜} w^{𝐝} = e_{1}^{𝐛} (v^{2} w^{3} - v^{3} w^{2}) + e_{2}^{𝐛} (v^{3} w^{1} - v^{1} w^{3}) + e_{3}^{𝐛} (v^{1} w^{2} - v^{2} w^{1})

이 된다. 보다시피 벡터곱의 성분 표현을 얻을 수 있다. 때문에 이 벡터곱을 외적이라 부르기도 한다.

응용

벡터곱은 벡터 미분 연산인 회전 (∇×)의 정의에 등장하고, 자기장에서 움직이는 전하가 받는 힘을 기술하는 로런츠 힘의 공식에 등장하며, 돌림힘과 각운동량의 정의에도 나온다.

고차원에서의 벡터곱

7차원 벡터 공간의 벡터곱도 사원수의 방법을 팔원수에 적용하여 얻어질 수 있다.

7차원 공간의 벡터곱은 다음과 같은 성질을 3차원 공간의 벡터곱과 공유한다.

다음과 같은 의미에서 겹선형(bilinear)이다.

x×(a y + b z) = a x × y + b x × z and (a y + b z) × x = a y × x + b z × x

반가환성 (anti-commutative)

x×y + y×x = 0

x와 y 모두에 수직

x·(x×y) = y·(x×y) = 0

야코비 항등식이 성립한다.

x×(y×z) + y×(z×x) + z×(x×y) = 0

||x×y||² = ||x||²||y||²-(x·y)²

외부 링크

“Vector product” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Cross product” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Vector multiplication” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “BAC-CAB identity” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Scalar triple product” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Vector triple product” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Vector quadruple product” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“cross product” (영어). 《nLab》.
이철희. “벡터의 외적(cross product)”. 《수학노트》.

같이 보기

v t e 선형대수학
기본 개념	스칼라 벡터 벡터 공간 스칼라 곱셈 벡터 사영 선형생성 선형 변환 사영작용소 일차 독립 집합 선형 결합 기저 기저 변경 행 벡터와 열 벡터 행 공간과 열 공간 직교 영공간 고윳값과 고유 벡터 외적 내적 공간 스칼라곱 전치행렬 그람-슈미트 과정 일차 방정식 기본 정리	Three dimensional Euclidean space
벡터 대수	벡터곱 삼중곱 7차원 외적
다중선형대수학	기하적 대수학 외대수 이중벡터 다중벡터 텐서 아우터모피즘
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