블록 설계

조합론에서 블록 설계(block設計, 영어: block design 블록 디자인^[*])는 같은 크기의 일련의 부분 집합들이 주어져 있는 유한 집합이다. 이 경우, 이러한 부분 집합을 블록(영어: block)이라고 하며, 블록 설계는 (예를 들어) “$k$개의 원소들을 포함하는 블록의 수는 원소의 선택에 상관없이 $\lambda$개”와 같은 꼴의 조건을 만족시켜야 한다.

정의

존슨 결합 도식 속의 블록 설계

세 자연수 $t,k,n\in \mathbb{N}$가 주어졌다고 하자. $(t,k,n)$-블록 설계 $(X,ℬ)$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 크기 $n$의 유한 집합 $X$. 그 원소를 점(點, 영어: point)이라고 한다.
• $X$의, 크기 $k$의 부분 집합들의 족 $ℬ\subseteq {\mathrm{Pow}}_k(X)$. 그 원소를 블록(영어: block)이라고 한다. (여기서 ${\mathrm{Pow}}_k(X)$는 $X$의 부분 집합들 가운데 크기가 $k$인 것들로 구성된, 멱집합의 부분 집합이다.)

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• $t$개의 서로 다른 점들이 주어졌을 때, 이 점들을 모두 포함하는 블록의 개수는 선택한 점들에 상관없는 값 ${\lambda }_t>0$이다. (0을 제외하는 것은 피셔 부등식 등을 따르지 않는 $(X,ℬ=\varnothing )$를 배제하기 위함이다.)

두 $(t,k,n)$-블록 설계 $(X,ℬ)$, $(X^{\prime },{ℬ}^{\prime })$가 주어졌다고 하자. 만약 이 둘 사이에 전단사 함수

$\iota :X\to X^{\prime }$

가 존재하여

$\{\iota (B){\}}_{B\in ℬ}={ℬ}^{\prime }$

라면, $(X,ℬ)$와 $(X^{\prime },{ℬ}^{\prime })$가 서로 동형이라고 한다.

${\lambda }_t=1$인 $(t,k,n)$-블록 설계는 $(t,k,n)$-슈타이너 계(Steiner系, 영어: Steiner system 스타이너 시스템^[*])라고 한다. 보통, ${\lambda }_t=1$인 $(t,k,n)$-블록 설계 $(X,ℬ)$는 $\mathrm{S}(t,k,n)$로 표기된다.

일반적 결합 도식 속의 블록 설계

위 정의는 결합 도식의 개념을 통해 일반화된다.^{:2483–2486, §Ⅲ}

구체적으로, 결합 도식 $(X,\{D_i\in \mathrm{Mat}(|X|,|X|;\mathbb{Z}){\}}_{i\in I})$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 복소수 계수 보스-메스너 대수

$𝒜={\mathrm{Span}}_{ℂ}\{D_i{\}}_{i\in I}\subseteq \mathrm{Mat}(|X|,|X|;ℂ)$

는 반단순 대수이며, 따라서 그 최소 멱등원들의 집합

$(E_a{)}_{a\in A}$

$E_a{E}_b={\delta }_{ab}{E}_a$

$\sum _{a\in A}{E}_a=1_{𝒜}$

를 정의할 수 있다. 특히,

$E_0=\frac{1}{|X|}{𝖩}_{|X|\times |X|}$

는 항상 최소 멱등원이다. (${𝖩}_{|X|\times |X|}$는 모든 성분이 1인 $|X|\times |X|$ 정사각 행렬이다.)

이제, 계수

$E_a=\sum _{i=0}^{|I|}{Q}_{ai}{D}_i$

들을 정의할 수 있다. $X$의 부분 집합(즉, $X$ 속의 블록 부호) $C\subseteq X$가 주어졌을 때, 내부 분포

${\alpha }_i=\frac{|C^2\cap R_i|}{|C|}$

및 쌍대 내부 분포

${\beta }_a=\sum _{i\in I}{Q}_{ai}{\alpha }_i$

를 정의할 수 있다.

만약 어떤 부분 집합 $E\subseteq A$가 주어졌을 때, 만약 $X$의 부분 집합 $C\subseteq X$가 다음 조건을 만족시킬 경우, $E$-블록 설계(영어: $E$-block design)라고 한다.^{:2484, Definition 7}

임의의 $a\in ̸E$에 대하여, ${\beta }_a=0$

만약 $X$가 존슨 결합 대수일 때, 이는 첫째 정의로 귀결된다.

연산

유도 블록 설계

임의의 $(t,k,n)$-블록 설계 $(X,ℬ)$ 및 점 $x\in X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$X^{\prime }=X\setminus \{x\}$

${ℬ}^{\prime }=\{B\setminus \{x\}:x\in B\in ℬ\}$

는 $(t-1,k-1,n-1)$-블록 설계를 이루며,

$\lambda {\text{'}}_{t-1}={\lambda }_t$

이다. 이를 $(X,ℬ)$의 유도 블록 설계(誘導block設計, 영어: derived block design)이라고 한다. (서로 다른 점에서 취한 유도 블록 설계는 서로 동형이지 못할 수 있다.)

특히, 슈타이너 계의 유도 블록 설계는 항상 슈타이너 계이다.

결합 행렬

$(t,k,n)$-블록 설계 $(X,ℬ)$에서, $X=\{x_1,\dots ,x_n\}$와 $ℬ=\{B_1,\dots ,B_{{\lambda }_0}\}$ 위에 각각 임의로 전순서를 주자. 그렇다면, $(X,ℬ)$의 결합 행렬(영어: incidence matrix)은 다음과 같은 $n\times {\lambda }_0$ 행렬

$M\in \mathrm{Mat}(n,{\lambda }_0;{𝔽}_2)$

이다.

$M_{ij}=\{\begin{array}{cc}1& x_i\in B_j\\ 0& x_i\in ̸B_j\end{array}$

정사각 블록 설계의 경우 결합 행렬은 정사각 행렬이다.

성질

임의의 $(t,k,n)$-블록 설계 $(X,ℬ)$가 주어졌을 때, 다음 정수들을 정의하자.

${\lambda }_i=\frac{{\lambda }_t(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{t-i})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-i}{t-i})}(i\in \{0,1,\dots ,t\})$

그렇다면, 다음이 성립한다.

• $0\le i\le t$가 주어졌을 때, $i$개의 점들을 모두 포함하는 블록의 개수는 정확히 ${\lambda }_i$이다.

특히, $i=0$일 경우,

• 블록의 수는 ${\lambda }_0={\lambda }_t(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{t})/(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{t})$이다.

이에 따라, 모든 $(t,k,n)$-블록 설계는 임의의 $0\le t^{\prime }\le t$에 대하여 $(t^{\prime },k,n)$-블록 설계이다.

존재의 필요 조건

피셔 부등식(Fisher不等式, 영어: Fisher’s inequality)에 따르면, 임의의 $(2,k,n)$-블록 설계 $(X,ℬ)$에 대하여, 다음이 성립한다.

$|X|\ge {\lambda }_0$

$k\ge {\lambda }_1$

($X{\lambda }_1=k{\lambda }_0$이므로, 두 조건은 사실 동치이다.) 이 부등식을 포화시키는 블록 설계, 즉 점의 수가 블록의 수와 같은 2-블록 설계를 정사각 블록 설계(正四角block設計, 영어: square block matrix) 또는 대칭 블록 설계(對稱block設計, 영어: symmetric block design)라고 한다.

보다 일반적으로, 임의의 $(t,k,n)$-블록 설계 $(X,ℬ)$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\lambda }_0\ge (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\lfloor t/2\rfloor })$

브룩-라이저-차울라 정리(Bruck-Ryser-चावला定理, 영어: Bruck–Ryser–Chowla theorem)에 따르면, 임의의 $(t,k,n)$-블록 설계 $(X,ℬ)$에 대하여, 만약 $|X|={\lambda }_0$라면,

• 만약 $|X|$가 짝수라면, $k-{\lambda }_2$는 제곱수이다.
• 만약 $|X|$가 홀수라면, $x^2=(k-{\lambda }_2)y^2+(-1{)}^{(|X|-1)/2}{\lambda }_2{z}^2$를 만족시키는 정수 $(x,y,z)\ne (0,0,0)$가 존재한다.

개수

작은 크기의 $(t=2,k=3,n)$-슈타이너 계의 동형류들의 수들은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A30129)

$n$	1	3	7	9	13	15	19	…
$(2,3,n)$-슈타이너 계의 동형류의 수	1	1	1	1	2	80	11084874829

작은 크기의 $(t=3,k=4,n)$-슈타이너 계의 동형류들의 수들은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A51390)

$n$	1	2	4	8	10	14	16	…
$(3,4,n)$-슈타이너 계의 동형류의 수	1	1	1	1	1	4	1054163

예

다음과 같은 (2,4,8)-블록 설계를 생각하자.

$X=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$

$ℬ=\{0123,0124,0156,0257,0345,0367,0467,1267,1346,1357,1457,2347,2356,2456\}$

그렇다면,

• 총 8개의 점이 있다 ($n=8$).
• 모든 블록의 크기는 4이다 ($k=4$).
• 블록의 수는 14이다 (${\lambda }_0=14$).
• 임의의 한 점은 7개의 블록에 포함된다 (${\lambda }_1=7$).
• 임의의 두 점은 3개의 블록에 포함된다 (${\lambda }_2=3$).

파노 평면

파노 평면 (유한체 ${𝔽}_2$ 위의 사영 평면) ${\mathbb{P}}_{{𝔽}_2}^2$을 생각하자.

섬네일을 만드는 중 오류 발생:

여기서, 각 선을 블록으로 생각하자. 즉, 다음과 같은 블록 설계를 생각하자.

$X=\{1,2,3,4,5,6,7\}$

$ℬ=\{123,145,167,246,257,347,356\}$

이는 $(2,3,7)$-슈타이너 계를 이룬다.

• 총 7개의 점이 있다 ($n=7$).
• 모든 블록은 정확히 세 개의 점을 갖는다 ($k=3$).
• 블록의 수는 7이다 (${\lambda }_0=7$).
• 모든 점은 정확히 세 개의 블록에 포함된다 (${\lambda }_1=3$).
• 임의의 서로 다른 두 점이 주어졌을 때, 이를 포함하는 블록은 정확히 한 개이다. (${\lambda }_2=1$).

이진 골레 부호

파일:Icons8 flat search.svg 이 부분의 본문은 이진 골레 부호입니다.

이진 골레 부호 $G_{24}\subseteq {𝔽}_2^{24}$는 759개의 옥타드(값이 1인 성분이 8개인 벡터)를 가지며, 각 옥타드를 $\{1,2,\dots ,24\}$의, 크기 8의 부분 집합으로 여길 수 있다. 이에 따라, 이진 골레 부호의 옥타드의 집합은 (5,8,24)-슈타이너 계를 이룬다. 이는 비트 설계(Witt設計, 영어: Witt design)라고 불린다.

아다마르 설계

파일:Icons8 flat search.svg 이 부분의 본문은 아다마르 설계입니다.

$4m\times 4m$ 아다마르 행렬이 주어졌으며, 그 첫 열과 첫 행이 모두 1로 구성돼 있다고 하자. 그렇다면, 첫 열과 첫 행을 제거하고, 나머지 성분 가운데 −1을 0으로 치환한 뒤, 이를 어떤 정사각 블록 설계의 결합 행렬로 해석할 수 있다. 이를 아다마르 설계라고 하며, 이는 ${\lambda }_2=m-1$인 $(2,2m,4m-1)$-블록 설계이다.

자명한 블록 설계

임의의 유한 집합 $X$ 및 $\varnothing \ne ℬ\subseteq {\mathrm{Pow}}_k(X)$에 대하여, $(X,ℬ)$는 ${\lambda }_0=|ℬ|$인 $(0,k,|X|)$-블록 설계를 이룬다.

임의의 유한 집합 $X$ 및 양의 정수 $1\le k\le |X|$에 대하여, $(X,{\mathrm{Pow}}_k(X))$는 $(k,k,|X|)$-블록 설계를 이루며, 이 경우

${\lambda }_i=(\genfrac{}{}{0ex}{}{|X|-i}{k-i})(0\le i\le k)$

이다. 이는 $t=k$이므로 정사각 블록 설계이며, ${\lambda }_t=1$이므로 슈타이너 계이다.

역사

섬네일을 만드는 중 오류 발생:

웨슬리 스토커 바커 울하우스

파일:JakobSteiner.jpg

야코프 슈타이너

1844년에 영국의 보험계리인 웨슬리 스토커 바커 울하우스(영어: Wesley Stoker Barker Woolhouse, 1809~1893)가 자신이 편집자로 있던 잡지 《레이디즈 앤드 젠틀먼즈 다이어리》(영어: Lady’s and Gentleman’s Diary)에서 블록 설계에 대한 퍼즐을 제시하였다. 그 전문(全文)은 다음과 같다.

“	XV. 상금 문제 (1733번). 편집부 출제. $n$개의 기호들로 만들 수 있는, 각각 $p$개의 기호를 갖는 조합들의 수를 계산하라. 다만, 임의의 $q$개의 기호들의 조합은 두 개 이상에 속할 수 없다. XV. Oʀ PRIZE QUEST. (1733) ; by the Editor. Determine the number of combinations that can be made out of n symbols, p symbols in each; with this limitation, that no combination of q symbols, which may appear in any one of them shall be repeated in any other.	”
	—

이는 현대적 용어로는 $(q,p,n)$-슈타이너 계를 다루는 것이다.

이후 이 문제는 1847년에 영국의 잉글랜드 성공회 사제 토머스 페닝턴 커크먼(영어: Thomas Penyngton Kirkman, 1806~1895)이 해결하였다. 그러나 이들의 논문은 크게 관심을 불러일으키지 못했다.

이후 울하우스와 커크먼과 독자적으로 야코프 슈타이너가 1853년에 블록 설계에 대한 논문을 출판하였다. 이후 그의 이름을 따 ${\lambda }_t=1$인 $t$-블록 설계는 “슈타이너 계”로 불리게 되었다.

비트 설계는 1931년에 로버트 대니얼 카마이클이 최초로 발견하였으며, 에른스트 비트가 1938년에 마티외 군을 연구하던 도중 재발견하였다.

피셔 부등식은 로널드 피셔가 1940년에 증명하였다.

참고 문헌

• Street, Anne Penfold; Street, Deborah J. (1987). 《Combinatorics of experimental design》 (영어). Clarendon Press. ISBN 0-19-853256-3. 
• Lindner, Charles C.; Rosa, Alexander (1978). “Steiner quadruple systems — a survey” (영어). 《Discrete Mathematics》 22 (2): 147-181. doi:10.1016/0012-365X(78)90122-X. 

외부 링크

• “Block design” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Symmetric design” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Pairwise balanced design” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Design with mutually orthogonal resolutions” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Partially balanced incomplete block design” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Balanced incomplete block design” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Affine design” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Steiner system” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Block design” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Symmetric block design” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Steiner system” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Steiner triple system” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Steiner quadruple system” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Fisher's block design inequality” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bruck-Ryser-Chowla theorem” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Block design” (영어). 《nLab》. 
• “Steiner system” (영어). 《nLab》. 
• 이철희. “슈타이너 시스템 S(5, 8, 24)”. 《수학노트》. 
• “DesignTheory.org” (영어). Queen Mary University of London.