산술 도함수

수론에서 산술 도함수(算術導函數, 영어: arithmetic derivative)란 정수 상에서 소인수 분해를 기초로 정의된 함수로서, 라이프니츠 법칙을 만족하여 일종의 도함수처럼 계산할 수 있다.

정의

우선 음이 아닌 정수에 대해 산술 도함수는 다음과 같이 귀납적으로 정의한다.

임의의 소수 $p$ 에 대해 $p^{'} = 1$ .
임의의 $a <mo>,</mo> b \in ℕ$ 에 대해 $(a b)^{'} = a^{'} b + a b^{'}$ . (라이프니츠 법칙)

여기에 덧붙여 $1^{'} : = 0$ 과 $0^{'} : = 0$ 이라 둔다. 그러면 이상에서 모든 자연수 및 0에 대해 산술 도함수가 잘 정의된다. 구체적으로, 임의의 1보다 큰 정수 $x$ 에 대해 산술의 기본정리를 적용하여 다음과 같이 놓자.

x = p_{1}^{e_{1}} \dots p_{k}^{e_{k}} <mo>,</mo>

여기서 $p_{1}, \dots, p_{k}$ 는 서로 다른 소수이며 $e_{1}, \dots, e_{k}$ 는 양의 정수이다. 그러면, $x$ 의 산술 도함수는,

x^{'} = \sum_{i = 1}^{k} e_{i} p_{1}^{e_{1}} \dots p_{i - 1}^{e_{i - 1}} p_{i}^{e_{i} - 1} p_{i + 1}^{e_{i + 1}} \dots p_{k}^{e_{k}} = \sum_{i = 1}^{k} e_{i} \frac{x}{p_{i}}

와 같이 명시적으로 구할 수 있다. 이러한 정의를 처음으로 공식화한 사람은 E. J. Barbeau인데, Barbeau는 이상의 자연수 및 0에 대한 정의를 받아들이면 음의 정수에 대하여도 $(- x)^{'} : = - (x^{'})$ 와 같이 정의할 경우 모든 정수 상에서 산술 도함수가 유일하게 확장됨을 증명하였다.

기본 성질과 확장

산술 도함수는 이상의 정의에 따라 소수 $p$ 와 양의 정수 $a$ 에 대해 다음과 같은 거듭제곱 법칙을 만족한다.

(p^{a})^{'} = a p^{a - 1}

이를테면 다음과 같다.

\begin{matrix} 81^{'} = (3^{4})^{'} & = (9 \cdot 9)^{'} = 9^{'} \cdot 9 + 9 \cdot 9^{'} = 2 [9 (3 \cdot 3)^{'}] \\ = 2 [9 (3^{'} \cdot 3 + 3 \cdot 3^{'})] = 2 [9 \cdot 6] = 108 = 4 \cdot 3^{3} . \end{matrix}

또 기술한 Barbeau는 유리수에 대하여 다음의 몫의 법칙을 만족하도록 산술 도함수를 확장할 수 있음도 보였다.

(\frac{a}{b}) = \frac{a^{'} b - b^{'} a}{b^{2}} .

Victor Ufnarovski와 보 올란데르(Bo Åhlander)는 이상의 정의를 일부 무리수에 대해서도 확장하였다. 이러한 무리수에 대한 확장에서는, 전술한 소인수 분해를 통한 명시적 정의식의 형태는 그대로 적용되나 지수 부분인 $e_{i}$ 는 임의의 유리수를 취할 수 있다.

나아가, 형식적으로 $(\ln n)^{'} : = \frac{n^{'}}{n}$ 와 같이 로그 도함수를 정의할 수 있는데, 이 로그 도함수의 정의역을 자연수에 제한할 경우 완전 가법적 함수(totally additive function)가 된다. 즉, 임의의 자연수 a, b에 대하여,

(\ln a b)^{'} = (\ln a)^{'} + (\ln b)^{'}

이 성립하게 된다.

평균 차수

산술 도함수와 산술 로그 도함수의 평균 차수(average order)에 대한 다음과 같은 결과가 있다.(이하에서 n 은 자연수이다)

\sum_{n \leq x} n^{'} = (1 / 2) T_{0} x^{2} + O (x^{1 + δ})

\sum_{n \leq x} \frac{n^{'}}{n} = T_{0} x + O (\log x \log \log x)

여기서 δ는 임의의 양수이며, $T_{0}$ 는 다음과 같다.

T_{0} = \sum_{p} \frac{1}{p (p - 2)} \approx 0.749 .

부등식과 상하계

E. J. Barbeau는 산술 도함수의 상하계에 대하여 다음 두 부등식이 성립함을 보였다.(이하에서 n 은 자연수이다)

n^{'} \leq \frac{n \log_{k} n}{k}

여기서 k는 n 의 최소 소인수이며,

n^{'} \geq s n^{\frac{s - 1}{s}}

여기서 s는 n 을 나누는 소수의 가짓수이다. 이상의 부등식들은 n 이 2의 거듭제곱수일 때, 즉 $n = 2^{m}$ 꼴에 대해서만 등호가 성립한다.

Alexander Loiko와 요나스 에른스트 올손(Jonas Ernst Olsson), 니클라스 달(Niklas Dahl)은 산술 도함수의 정의역을 앞에서와 같은 방식으로 유리수로 확장했을 때에는, 두 서로 다른 유리수 사이에는 임의로 크거나 작은 산술 도함수를 갖는 유리수들이 존재함을 보임으로써 비슷한 부등식이 성립할 수 없음을 보였다.

수론의 문제들과의 관련성

빅토르 우프나롭스키(Victor Ufnarovski)와 보 알란데르는 유명한 수론의 미해결 문제인 쌍둥이 소수 추측, 소수 세짝 추측, 골트바흐의 추측과 산술 도함수가 관련이 있음을 보였다. 예로, 골트바흐의 추측을 가정하면 1보다 큰 자연수 k에 대하여 n' = 2k 을 만족하는 자연수 n 이 항상 존재한다. 또 쌍둥이 소수 추측을 가정하면 k'' = 1 을 만족하는 자연수 k는 무수히 많다.

같이 보기

참고 문헌

Barbeau, E. J. (1961). “Remarks on an arithmetic derivative”. 《Canadian Mathematical Bulletin》 4: 117–122. doi:10.4153/CMB-1961-013-0. Zbl 0101.03702.
Ufnarovski, Victor; Åhlander, Bo (2003). “How to Differentiate a Number”. 《Journal of Integer Sequences》 6. Article 03.3.4. ISSN 1530-7638. Zbl 1142.11305.
Arithmetic Derivative 보관됨 2007-10-18 - 웨이백 머신, Planet Math, accessed 04:15, 9 April 2008 (UTC)
L. Westrick. Investigations of the Number Derivative.
Peterson, I. Math Trek: Deriving the Structure of Numbers.
Stay, Michael (2005). “Generalized Number Derivatives”. 《Journal of Integer Sequences》 8. Article 05.1.4. ISSN 1530-7638. Zbl 1065.05019.
Dahl N., Olsson J., Loiko A., Investigation of the properties of the arithmetic derivative.