서로소 아이디얼

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수론과 환론에서 서로소(-素, 영어: coprime integers, coprime, relatively prime, mutually prime)는 정수나 다항식들끼리의 최대 공약수가 1이라는 뜻의 표현이다.^[1] 즉, 서로소인 정수들의 공약수는 ±1뿐이며,^[2] 서로소인 다항식들의 공약수는 0차 다항식뿐이다. 서로소의 개념은 아이디얼의 경우에까지 확장할 수 있으며, 이는 정수와 다항식의 경우의 공통적인 일반화이다.

정의

정수의 경우

정수 $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}$ 가 $\gcd {n_{1}, \dots, n_{k}} = 1$ 을 만족시키면, 이들이 서로소라고 한다. 특히 두 정수 $m, n$ 의 최대 공약수가 1이라면, 이 두 정수가 서로소라고 한다.

정수 $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}$ 가 다음 조건을 만족시키면, 이들이 쌍마다 서로소(雙-素, 영어: pairwise coprime)라고 한다.

모든 서로 다른 두 정수의 쌍 $n_{i} \neq n_{j}$ 은 서로소이다.

쌍마다 서로소는 서로소보다 강한 개념이다.

다항식의 경우

체 $K$ 위의 다항식 $p_{1} (x), \dots, p_{k} (x) \in K [x]$ 의 최대 공약수가 0차 다항식(즉, 1의 약수이자 1의 배수인 다항식)이라면, 이들이 서로소라고 한다. 모든 서로 다른 두 다항식의 쌍이 서로소라면, 이들이 쌍마다 서로소라고 한다.

환의 원소의 경우

정역 $R$ 의 원소 $r_{1}, \dots, r_{k} \in R$ 의 최대 공약수가 가역원(즉, 곱셈 항등원의 약수이자 배수인 원소)이라면, 이들이 서로소라고 한다. 모든 서로 다른 두 원소의 쌍이 서로소라면, 이들이 쌍마다 서로소라고 한다.

아이디얼의 경우

환 $R$ 의 아이디얼 $𝔞_{1}, \dots, 𝔞_{k} \subset R$ 가 다음 조건을 만족시키면, 서로소라고 한다.

$𝔞_{1} + \dots + 𝔞_{k} = R$ . 즉, $r_{1} + \dots + r_{k} = 1_{R}$ 인 $r_{i} \in 𝔞_{i}$ 가 존재한다.

특히, 두 아이디얼 $𝔞, 𝔟 \subset R$ 가 $𝔞 + 𝔟 = R$ 를 만족시키면 서로소라고 한다. 모든 서로 다른 두 아이디얼의 쌍이 서로소라면, 이 아이디얼들이 쌍마다 서로소라고 한다.

성질

베주 항등식

두 정수 $m, n \in ℤ$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

$m, n$ 은 서로소이다.
$m, n$ 은 공통의 소인수를 갖지 않는다.
(베주 항등식) $u m + v n = 1$ 인 정수 $u, v$ 가 존재한다.
$(m), (n) \subset ℤ$ 는 서로소이다.

두 다항식 $p (x), q (x) \in K [x]$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

$p (x), q (x)$ 는 서로소이다.
$p (x), q (x)$ 는 공통의 기약 다항식 약수를 갖지 않는다.
(베주 항등식) $u (x) p (x) + v (x) q (x) = 1$ 인 $u (x), v (x) \in K [x]$ 가 존재한다.
$(p (x)), (q (x)) \subset K [x]$ 는 서로소이다.

보다 일반적으로, 환 $R$ 및 그 두 원소 $a, b \in R$ 에 대하여, 만약 $R$ 가 유일 인수 분해 정역이라면, 다음 조건들이 서로 동치이다.

$a, b$ 는 서로소이다.
$a, b$ 는 공통의 소원 약수를 갖지 않는다.

만약 $R$ 가 주 아이디얼 정역이라면, 다음 조건들이 서로 동치이다.

$a, b$ 는 서로소이다.
(베주 항등식) $u a + v b = 1_{R}$ 인 $u, v \in R$ 가 존재한다.
$(a), (b) \subset R$ 는 서로소이다.

중국인의 나머지 정리

유사환의 쌍마다 서로소 아이디얼에 대하여 중국인의 나머지 정리가 성립한다. 정수나 다항식의 연립 합동 방정식의 해의 구조에 대한 명제는 이에 대한 특수한 경우이다.

확률론적 성질

두 정수가 서로소일 확률은

\frac{6}{π^{2}} = 0.607927101854026628663276 \dots

이다.

증명:

소수 $p$ 가 어떤 정수를 나눌 확률은 $1 / p$ 이며, 어떤 두 정수를 나눌 확률은 $1 / p^{2}$ 이다. 따라서 두 정수가 서로소일 확률은 이 둘을 모두 나누는 소수가 존재하지 않을 확률과 같으며, 이는 다음과 같다.

\prod_{p \in ℙ} (1 - \frac{1}{p^{2}}) = \frac{1}{\prod_{p \in ℙ} \frac{1}{1 - p^{- 2}}} = \frac{1}{ζ (2)} = \frac{6}{π^{2}}

여기서 $ℙ$ 는 소수의 집합, $ζ$ 는 리만 제타 함수이다.

같이 보기

각주

↑ Godfrey Harold Hardy, Edward Maitland Wright (1979). 《An Introduction to the Theory of Numbers》 (영어). Oxford Science Publications. 20쪽. Two or more positive integers that have greatest common divisor 1 are said to be relatively prime to one another, often simply just referred to as being "relatively prime.
↑ Weisstein, Eric W. “Relatively Prime” (영어). "Two integers are relatively prime if they share no common positive factors (divisors) except 1.

외부 링크

“Mutually-prime numbers” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Relatively prime” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.

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[1] Godfrey Harold Hardy, Edward Maitland Wright (1979). 《An Introduction to the Theory of Numbers》 (영어). Oxford Science Publications. 20쪽. Two or more positive integers that have greatest common divisor 1 are said to be relatively prime to one another, often simply just referred to as being "relatively prime.

[2] Weisstein, Eric W. “Relatively Prime” (영어). "Two integers are relatively prime if they share no common positive factors (divisors) except 1.

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