세타 표현

수학에서, 세타 표현(θ表現, 영어: theta representation)은 하이젠베르크 군의, 정칙 함수의 공간 위의 특별한 표현이다. 이 표현에서, 정수 계수 하이젠베르크 군의 작용의 고정점은 야코비 세타 함수이다.^{:5–11, §Ⅰ.3}

정의

임의의 양의 실수 $t\in {ℝ}^{+}$에 대하여, 복소평면 위에, 다음과 같은 측도를 정의하자.

${\mathrm{d}}^2{\mu }_t(z)=\exp (-2\pi t^{-1}(\mathrm{Im}z{)}^2){\mathrm{d}}^{2}z$

이 측도에 대하여, 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

$⟨f|g⟩=\underset{ℂ}{\int }{\mathrm{d}}^2\mu (z)\overline{f}(\overline{z})g(z)$

이 내적에 대한 노름이 유한한 정칙 함수들의 복소수 힐베르트 공간을 ${\mathscr{H}}_t$라고 하자.

이제, 임의의 $\tau \in ℍ={ℝ}^{+}+\mathrm{i}ℝ$에 대하여, ${\mathscr{H}}_{\mathrm{Im}\tau }$ 위에 다음과 같은 연산자들을 정의하자.^:6

$(S_{a}f)(z)=f(z+a)=\exp (a\partial )f(z)$

$(T_{a}f)(z)=\exp (\mathrm{i}\pi a^2\tau +2\pi \mathrm{i}bz)f(z+b\tau )=\exp (\mathrm{i}\pi b^2\tau +2\pi \mathrm{i}bz)S_{b\tau }f=\exp (2\pi \mathrm{i}bz+b\tau \partial )f$

$(C_a)f(z)=\exp (2\pi \mathrm{i}a)f(z)$

이들은 다음과 같은 교환 관계를 갖는다.

$S_a{S}_b=S_{a+b}$

$T_a{T}_b=T_{a+b}$

$S_a{T}_b=C_{ab}{T}_b{S}_a$

물론, $C$는 $S$ 및 $T$와 교환한다. 특히, 만약 $a,b\in \mathbb{Z}$일 때 $S_a{T}_b=T_b{S}_a$가 된다.

이에 따라, 집합

$G_{\tau }=\{S_a{T}_b{C}_c:a,b,c\in ℝ\}$

는 군을 이룬다.

$S_a{T}_b{C}_c{S}_{a^{\prime }}{T}_{b^{\prime }}{C}_{c^{\prime }}=S_{a+a^{\prime }}{T}_{b+b^{\prime }}{C}_{a^{\prime }b+c+c^{\prime }}$

이 군은 ${𝕊}^1\times ℝ\times ℝ$와 미분 동형이며, 그 범피복군은 하이젠베르크 군 $\mathrm{Heis}(3;ℝ)$이다. 즉, 이는 ${\mathscr{H}}_{\mathrm{Im}\tau }$ 위의, 하이젠베르크 군의 표현을 정의한다. 이를 세타 표현이라고 한다.

성질

임의의 $\tau \in ℝ+\mathrm{i}{ℝ}^{+}$의 값에 대하여, 세타 표현은 하이젠베르크 군의 기약 표현이며, 항상 바일 표현과 유니터리 동치이다.

$G_{\tau }$는 다음과 같은 부분군을 갖는다.

${\Gamma }_{\tau }=\{S_a{T}_b:a,b\in \mathbb{Z}\}\le G_{\tau }$

이는 물론 $S_1$과 $T_1$으로 생성되는 2차 자유 아벨 군이다.

${\Gamma }_{\tau }\cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$

이는 다음과 같은 가환 그림을 갖는다.

$\begin{array}{ccc}{\Gamma }_{\tau }& \to & G_{\tau }\\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathrm{Heis}(3;\mathbb{Z})& \to & \mathrm{Heis}(3;ℝ)\end{array}$

${\Gamma }_{\tau }$의 작용의 고정점은 1차원 복소수 벡터 공간이며, 그 기저는 야코비 세타 함수

$\vartheta (z;\tau )$

이다.

역사

데이비드 멈퍼드가 1983년에 도입하였다.^{:5–11, §Ⅰ.3}

같이 보기

• 하디 공간