스튀름-리우빌 연산자

상미분 방정식 이론에서, 스튀름-리우빌 연산자(Sturm-Liouville演算子, 영어: Sturm–Liouville operator)는 이산 스펙트럼을 갖는 특별한 형태의 2차 미분 연산자이다. 그 고유 함수에 대한 2차 상미분 방정식을 스튀름-리우빌 방정식(Sturm-Liouville方程式, 영어: Sturm–Liouville equation)이라고 하며, 이에 대한 이론을 스튀름-리우빌 이론(Sturm-Liouville理論, 영어: Sturm–Liouville theory)이라고 한다. 모든 2차 상미분 방정식은 항상 스튀름-리우빌 형으로 놓을 수 있다.

정의

실수의 닫힌구간 $[a,b]⊊ℝ$이 주어졌다고 하자. 그 위의 2차 연속 미분 가능 함수에 대한 스튀름-리우빌 연산자는 다음과 같은 꼴의 2차 미분 연산자이다.

$D:{𝒞}^2([a,b],ℝ)\to {𝒞}^0([a,b],ℝ)$

$D=-\frac{1}{w(x)}(\frac{d}{dx}p(x)\frac{d}{dx}+q(x))=-\frac{p(x)}{w(x)}\frac{d^2}{d{x}^2}-\frac{1}{w(x)}{p}^{\prime }(x)\frac{d}{dx}-\frac{q(x)}{w(x)}$

여기서

• $p:[a,b]\to {ℝ}^{+}$는 양의 실수 값의 연속 미분 가능 함수이다.
• $q:[a,b]\to ℝ$는 연속 함수이다.
• $w:[a,b]\to {ℝ}^{+}$는 양의 실수 값의 연속 함수이다. (이를 무게 함수 영어: weight function라고 한다.)

닫힌구간 $[a,b]$ 위의 로뱅 경계 조건(Robin境界條件, 영어: Robin boundary condition)이란 $[a,b]$ 위의 연속 미분 가능 함수에 대한, 다음과 같은 꼴의 경계 조건이다.

${\alpha }_{a}y(a)+{\beta }_a{y}^{\prime }(a)=0({\alpha }_a,{\beta }_a\in ℝ)$

${\alpha }_{b}y(b)+{\beta }_b{y}^{\prime }(b)=0({\alpha }_a,{\beta }_a\in ℝ)$

여기서, 다음 조건이 성립해야 한다.

• ${\alpha }_a$ 또는 ${\beta }_a$ 가운데 하나 이상이 0이 아니며, 마찬가지로 ${\alpha }_b$ 또는 ${\beta }_b$ 가운데 하나 이상이 0이 아니다.

즉, $[{\alpha }_a:{\beta }_a]$와 $[{\alpha }_b:{\beta }_b]$는 각각 실수 사영 직선 ${\mathbb{P}}_{ℝ}^1=ℝ\bigsqcup \{\mathrm{\infty }\}$의 두 점의 동차 좌표를 이룬다.

로뱅 경계 조건을 골랐다면, 스튀름-리우빌 연산자는 힐베르트 공간

$H={\mathrm{L}}^2([a,b],w(x)\mathrm{d}x)=\{f\in {\mathrm{L}}^0([a,b],ℝ):\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x){|}^{2}w(x)\mathrm{d}x<\mathrm{\infty }\}$

위의 자기 수반 작용소로 유일하게 확대될 수 있다. 이러한 확대는 선택한 로뱅 경계 조건에 의존한다.

스튀름-리우빌 연산자 $D$의 고유 함수 방정식

$Dy(x)=\lambda y(x)$

즉 선형 상미분 방정식

$-\frac{d}{dx}(p(x)\frac{dy(x)}{dx})-q(x)y(x)=\lambda w(x)y(x)$

을 스튀름-리우빌 방정식(영어: Sturm–Liouville equation)이라고 한다. 이 방정식은 선형 상미분 방정식이므로, $p$와 $q$, $\lambda$의 값에 따라 해의 공간은 벡터 공간을 이룬다. 스튀름-리우빌 문제는 스튀름-리우빌 미분 연산자의 고윳값을 구하는 문제이다.

성질

고윳값과 고유 함수

$[a,b]$ 위의 무게 함수

$w:[a,b]\to {ℝ}^{+}$

에 대한 스튀름-리우빌 연산자

$D:{\mathrm{L}}^2([a,b],w)\to {\mathrm{L}}^2([a,b],w)$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼은 가산 집합이며, 하계를 가지며, 상계를 갖지 않으며, 중복되지 않는다. 즉, 다음과 같이 놓을 수 있다.

${\lambda }_0<{\lambda }_1<{\lambda }_2<\cdots$

$\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\lambda }_i=+\mathrm{\infty }$

각 고윳값 ${\lambda }_i$에 대응하는 고유 함수의 공간은 1차원이며, 이는 해당 로뱅 경계 조건을 따르는 연속 미분 가능 함수로 구성된다. 또한, 이 함수는 열린구간 $(a,b)$ 속에서 정확히 $i$개의 영점을 갖는다.

이러한 고유 함수들의 집합 $\{y_0,y_1,\dots \}$은 ($H$의 내적에 따라 정규화하였을 때) $H$의 정규 직교 기저를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{y}_i(x)y_j(x)w(x)\mathrm{d}x={\delta }_{ij}$

2차 선형 미분 방정식의 스튀름-리우빌 형태로의 환원

모든 2차 선형 상미분 방정식은 좌변에 적당한 적분 인자(integrating factor)를 곱해 스튀름-리우빌 방정식의 꼴로 놓을 수 있다. (2차 편미분 방정식이나, y가 스칼라가 아니라 벡터인 경우에는 성립하지 않는다.)

일반적으로 다음과 같은 2차 선형 상미분 방정식이 주어졌다고 하자.

$P(x)y^{″}+Q(x)y^{\prime }+R(x)y=0$

양변을 P(x)로 나누고, 다시 양변에 적분 인자

$\exp (\int \frac{Q(x)}{P(x)}dx)$

를 곱한 뒤, 정리하면 스튀름-리우빌 형 방정식을 얻는다.

예

베셀 방정식

베셀 방정식

$x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }+({\lambda }^2{x}^2-{\nu }^2)y=0$

은 양변에 적당한 함수를 곱하면 다음과 같은 스튀름-리우빌 방정식이 된다.

$(x{y}^{\prime }{)}^{\prime }+({\lambda }^{2}x-{\nu }^2/x)y=0$

즉, 이 경우 스튀름-리우빌 연산자는

$-\frac{d}{dx}\left(x\frac{d}{dx}\right)+{\nu }^2/x-{\lambda }^{2}x$

이다.

르장드르 방정식

르장드르 방정식

$(1-x^2)y^{″}-2x{y}^{\prime }+\nu (\nu +1)y=0$

은 쉽게 스튀름-리우빌 형으로 만들 수 있다.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(1-x^2)=-2x$

이므로, 르장드르 방정식은 다음 모양으로 만들 수 있다.

$[(1-x^2)y^{\prime }{]}^{\prime }+\nu (\nu +1)y=0$

즉, $\nu (\nu +1)$은 스튀름-리우빌 연산자

$\frac{d}{dx}((1-x^2)\frac{d}{dx})$

의 고윳값이다.

더 복잡한 2차 상미분 방정식

좀 더 복잡한 예로 다음 상미분 방정식을 생각하자.

$x^3{y}^{″}-x{y}^{\prime }+2y=0$

양변을 x³으로 나누고

$y^{″}-\frac{x}{x^3}{y}^{\prime }+\frac{2}{x^3}y=0$

다시 양변에 다음과 같은 적분 인자를 곱한다.

$\exp (\int -\frac{x}{x^3}\mathrm{d}x)=\exp (\int -\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x)=\exp (1/x)$

그러면 다음과 같은 방정식이 나온다.

$\exp (1/x)y^{″}-\frac{1}{x^2}\exp (1/x)y^{\prime }+\frac{2}{x^3}\exp (1/x)y=0$

이 방정식은 스튀름-리우빌 형으로 바꿀 수 있는데,

$\frac{d}{dx}\exp (1/x)=-\frac{1}{x^2}\exp (1/x)$

이기 때문이다. 따라서 앞서 말한 미분 방정식은 아래의 스튀름-리우빌 미분 방정식과 같다.

$(\exp (1/x)y^{\prime }{)}^{\prime }+\frac{2}{x^3}\exp (1/x)y=0$

즉, 스튀름-리우빌 연산자는 다음과 같다.

$\frac{d}{dx}(\exp (1/x)\frac{d}{dx})+\frac{2}{x^3}\exp (1/x)$

역사

자크 샤를 프랑수아 스튀름과 조제프 리우빌의 이름을 땄다.

같이 보기

• 매개변수변환법

참고 문헌

• Zettl, Anton (2005). 《Sturm–Liouville theory》 (영어). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3905-5. 
• Teschl, Gerald (2012). 《Ordinary differential equations and dynamical systems》 (영어). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0. 
• Everitt, W. N. (2005). 〈A catalogue of Sturm-Liouville differential equations〉 (PDF) (영어). Hinz, A. M.; Pearson, D. B. (편집). 《Sturm-Liouville Theory, Past and Present》. Birkhäuser. 271–331쪽. doi:10.1007/3-7643-7359-8_12. 2007년 2월 21일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2019년 3월 16일에 확인함. 

외부 링크

• “Sturm-Liouville operator” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Sturm-Liouville theory” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Sturm-Liouville problem” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Sturm-Liouville equation” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Sturm-Liouville equation” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Sturm-Liouville theory” (영어). 《nLab》. 
• 이철희. “스텀-리우빌 이론”. 《수학노트》.