스핀 접속

미분기하학과 일반 상대성 이론에서 스핀 접속(spin接續, 영어: spin connection)은 스피너 다발 위에 존재하는 코쥘 접속이다. 아핀 접속으로부터 정의할 수 있다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• $M$의 접다발 $\mathrm{T}M$의 코쥘 접속 $\mathrm{\nabla }$
• $M$ 위의 (국소) 필바인 $e_1^{\mu },\dots ,e_n^{\mu }\in \Gamma (\mathrm{T}M)$

$a,b,c,\dots$가 필바인 지수, $\mu ,\nu ,\rho ,\dots$가 시공간 벡터 지수를 나타낸다고 하자.

그렇다면, 각 점에서 필바인은 접공간의 기저를 이루므로, 다음을 정의할 수 있다.

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{e}_b^{\nu }={\omega }_{\mu }{}^a{}_b{e}_a^{\nu }$

즉,

${\omega }_{\mu }{}^a{}_b=e_{\nu }^a{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{e}_b^{\nu }=e_{\nu }^a({\partial }_{\mu }{e}_b^{\nu }+{\Gamma }_{\mu \rho }^{\nu }{e}_b^{\rho })=e^{\nu a}{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{e}_{\nu b}=e^{\nu a}({\partial }_{\mu }{e}_{\nu b}-{\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }{e}_{\rho b})$

여기서 ${\Gamma }_{\mu \nu }^{\rho }$는 ($e$로 정의된 리만 계량에 대한) 크리스토펠 기호, $e_{\mu }^a$는 필바인이다.

이는 1차 미분 형식들로 이루어진 $n\times n$ 반대칭 행렬로 여겨질 수 있다. 즉,

${\eta }_{ac}{\omega }_{\mu }{}^c{}_b=-{\eta }_{bc}{\omega }_{\mu }{}^c{}_a$

이다. 여기서 $\eta$는 필바인 위의 이차 형식(계량)이다.

스피너 다발의 접속

스핀 접속은 이름과 같이 스피너 다발의 접속의 성분을 구성한다. 구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.

• 부호수 $(m,n)$의 준 리만 다양체 $(M,g)$. 그 틀다발이 $P\twoheadrightarrow M$이라고 하자. 즉, $\mathrm{T}M=P{\times }_{\mathrm{SO}(m,n)}{ℝ}^{m+n}$이다.
• 스핀 구조, 즉 $P$의 $\mathrm{Spin}(m,n)$으로의 올림 $\tilde{P}\twoheadrightarrow P\twoheadrightarrow M$.

그렇다면, (디랙) 스피너 다발

$S\twoheadrightarrow M$

을 정의할 수 있다. 이는 $2^{\lfloor (m+n)/2\rfloor }$차원 복소수 벡터 다발이다.

그렇다면, $S$ 위에는 다음과 같은 코쥘 접속이 존재한다. 성분으로서 이는 다음과 같다.

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }\psi =({\partial }_{\mu }-\frac{1}{4}\mathrm{i}{\omega }_{\mu }^{ab}{\sigma }_{ab})\psi$

여기서

$\sigma \in \Gamma (\mathrm{End}(S){\otimes }_{ℝ}𝔰𝔬(m,n{)}^{*})$

는 $S$ 위의 $𝔰𝔬(m,n)$ 표현이다.

이것은 리만 기하학에 사용된다.

성질

만약 비틀림이 없는 경우, 스핀 접속은 다음을 만족시킨다.

$(\mathrm{d}{e}^a{)}_{\mu \nu }+({\omega }^a{}_b\wedge e^b{)}_{\mu \nu }=0$

여기서 $d$는 1차 미분 형식의 외미분, $\wedge$는 두 1차 미분 형식의 쐐기곱이다.

같이 보기

• 아쉬테카르 변수
• 디랙 연산자
• 레비치비타 접속
• 초중력
• 비틀림 텐서

외부 링크

• “Spin connection” (영어). 《nLab》. 
• “Transferring connection information to associated bundles and back” (영어). 《Math Overflow》.