시작 대상과 끝 대상

범주론에서 시작 대상(始作對象, 영어: initial object)과 끝 대상(-對象, 영어: terminal object)은 매우 단순하여, 이 대상을 정의역 또는 공역으로 하는 사상이 하나밖에 없는 대상이다.

정의

범주 $𝒞$ 의 대상 $X$ 가 주어졌다고 하자.

만약 모든 $Y \in 𝒞$ 에 대하여 $hom (X, Y)$ 가 하나의 원소만을 갖는다면, $X$ 를 $𝒞$ 에서의 시작 대상이라고 한다.
만약 모든 $Y \in 𝒞$ 에 대하여 $hom (Y, X)$ 가 하나의 원소만을 갖는다면, $X$ 를 $𝒞$ 에서의 끝 대상이라고 한다.
만약 $X$ 가 $𝒞$ 에서의 시작 대상이자 끝 대상일 경우, $X$ 를 $𝒞$ 에서의 영 대상(零對象, 영어: zero object)이라고 한다.

모든 대수 구조 다양체의 범주는 (완비 범주이자 쌍대 완비 범주이므로) 시작 대상과 끝 대상을 갖는다. 시작 대상은 한원소 집합 위의 대수 구조이며, 끝 대상은 한원소 집합으로 생성되는 자유 대수이다. 시작 대상과 끝 대상은 같을 수도, 다를 수도 있다.

모든 아벨 범주는 정의에 따라 영 대상을 갖는다.

범주	시작 대상	끝 대상
집합의 범주 $Set$	공집합 $\emptyset$	한원소 집합 ${∙}$
위상 공간의 범주 $Top$	공공간 $\emptyset$	한원소 공간 ${∙}$
위상 공간의 호모토피 범주 $hTop$	공공간 $\emptyset$	한원소 공간 ${∙}$
작은 범주의 범주 $Cat$	공범주 $0$	하나의 대상과 그 상수사상만을 갖는 범주 $𝟏$
모노이드의 범주 $Mon$	자명 모노이드
군의 범주 $Grp$	자명군 1
아벨 군의 범주 $Ab$	자명군 0
(단위원을 갖는) 환의 범주	정수환 $ℤ$	자명환 0
(단위원을 갖는) 가환환의 범주 $CRing$	정수환 $ℤ$	자명환 0
유사환의 범주 $Rng$	자명환 0
아핀 스킴의 범주 $Aff ≃ {CRing}^{op}$	자명환의 스펙트럼 $Spec 0 = \emptyset$	정수환의 스펙트럼 $Spec ℤ$
스킴의 범주 $Sch$	자명환의 스펙트럼 $Spec 0 = \emptyset$	정수환의 스펙트럼 $Spec ℤ$
체의 범주 $Field$	(없음)
범주로 간주한 부분 순서 집합 ( $hom (a, b) \neq \emptyset ⟺ a \leq b$ )	(만약 존재한다면) 최소 원소	(만약 존재한다면) 최대 원소
범주로 간주한, 자명하지 않은 모노이드	(없음)
하나의 대상과 그 항등 사상만을 갖는 범주 $1 = {∙}$	유일한 대상 $∙$

Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》 2판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

“Final object” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Initial object” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Terminal object” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.

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