쌍곡공간

쌍곡 기하학에서 쌍곡공간(雙曲空間, 영어: hyperbolic space)은 균일한 음의 곡률을 갖는 동차공간이다.

정의

$n \geq 2$ 가 2 이상의 정수라고 하자. n차원 쌍곡공간 $H^{n}$ 은 모든 곳에서, 모든 방향으로의 단면 곡률(영어: sectional curvature)이 −1인 $n$ 차원 연결 단일 연결 최대 대칭(영어: maximally symmetric) 리만 다양체이다.

성질

쌍곡공간 $H^{n}$ 은 $n$ 차원 유클리드 공간 $ℝ^{n}$ 과 위상동형이자 미분동형이지만, 유클리드 공간과 쌍곡공간 사이에 등거리사상은 존재하지 않는다.

쌍곡공간의 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.

R_{i j k l} = - (g_{i k} g_{j l} - g_{i l} g_{j k})

여기서 $g_{i j}$ 는 쌍곡공간의 계량 텐서이다.

쌍곡공간의 등거리변환군은 정시적(영어: orthochronous) 로런츠 군 $O^{+} (1, n)$ 이다.

모형

$n$ 차원 쌍곡공간 $H^{n}$ 은 다양한 좌표계로 정의할 수 있다.

푸앵카레 반공간

n차원 열린 상반공간 $ℝ^{+} \times ℝ^{n - 1} = {(z, 𝐱) | z > 0, 𝐱 \in ℝ^{n - 1}}$ 에 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자.

d s^{2} = z^{- 2} (d z^{2} + ‖ d 𝐱 ‖^{2})

이 리만 다양체는 $H^{n}$ 과 등거리사상을 가지며, 이를 푸앵카레 반공간 모형(영어: Poincaré half-space model)이라고 한다. 이 경우, 측지선은 $z = 0$ 평면에 수직인 반원들이다. 두 점 사이의 거리는 다음과 같다.

dist (z_{1}, 𝐱_{1}; z_{2}, 𝐱_{2}) = \cosh^{- 1} (1 + \frac{‖ 𝐱_{1} - 𝐱_{2} ‖^{2} + (z_{1} - z_{2})^{2}}{2 z_{1} z_{2}})

푸앵카레 공

반지름이 1인 n차원 열린 초공 $B^{n} = {𝐱 \in ℝ^{n} | ‖ 𝐱 ‖ < 1}$ 에 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자. 여기서 $(r, Ω)$ 는 구면좌표계이다 ( $r \in [0, 1)$ , $Ω \in S^{n - 1}$ ).

d s^{2} = \frac{4}{(1 - r^{2})^{2}} (d r^{2} + r^{2} d Ω^{2})

이 리만 다양체는 $H^{n}$ 과 등거리사상을 가지며, 이를 푸앵카레 공 모형(영어: Poincaré ball model)이라고 한다. 이 경우, 측지선은 구면 $\partial B^{n} = S^{n - 1} = {𝐱 \in ℝ^{n} | ‖ 𝐱 ‖ = 1}$ 에 수직인 원호이다.

갠스 모형

n차원 유클리드 공간 $ℝ^{n}$ 에, 다음과 같은 계량 텐서를 부여하자.

d s^{2} = \frac{d {\tilde{r}}^{2}}{1 + {\tilde{r}}^{2}} + {\tilde{r}}^{2} d Ω^{2}

여기서 $(\tilde{r}, Ω)$ 는 $ℝ^{n}$ 의 구면좌표계이다. 이 리만 다양체는 $H^{n}$ 과 등거리사상을 가지며, 이를 갠스 모형(영어: Gans model)이라고 한다.^[1] 갠스 모형 $(\tilde{r}, Ω)$ 은 푸앵카레 공 모형 $(r, Ω)$ 과 다음과 같이 대응한다.

\tilde{r} = 2 r / (1 - r^{2})

갠스 모형은 쌍곡면 모형 $(t, ρ, Ω)$ 과 다음과 같이 대응한다.

(t, ρ) = (\sqrt{1 + r^{2}}, r)

즉, 이는 쌍곡면 모형 $(t, 𝐱)$ 을 $𝐱$ 공간으로 그대로 사영한 것이다.

쌍곡면 모형

$n + 1$ 차원 민코프스키 공간 $ℝ^{1, n} = {(t, 𝐱) | t \in ℝ, 𝐱 \in ℝ^{n}}$ 은 다음과 같은 계량을 갖는다.

d s^{2} = - d t^{2} + ‖ d 𝐱 ‖^{2}

민코프스키 공간 속의, 다음과 같은 $n$ 차원 초곡면을 생각하자.

{(t, 𝐱) \in ℝ^{1, n} | t^{2} - ‖ 𝐱 ‖^{2} = 1, t > 0}

이 초곡면은 민코프스키 공간으로부터 계량 텐서를 유도받으며, 이 계량 텐서는 양의 정부호임을 보일 수 있다. 따라서, 이 초곡면은 리만 다양체를 이룬다. 이 리만 다양체는 $H^{n}$ 과 등거리사상을 가지며, 이를 쌍곡면 모형(영어: hyperboloid model)이라고 한다.

동차공간으로서의 정의

쌍곡공간은 동차공간으로서 다음과 같이 정의할 수 있다.

H^{n} ≅ O^{+} (1, n) / O (n)

여기서 $O^{+} (1, n)$ 은 정시적(영어: orthochronous) 로런츠 군이며, $O (n)$ 은 직교군이다.

각주

↑ Gans, David (1996년 3월). “A new model of the hyperbolic plane” (영어). 《The American Mathematical Monthly》 73 (3). doi:10.2307/2315350. JSTOR 2315350.

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Hyperbolic geometry” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Lobachevskii geometry” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.

같이 보기

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[1] Gans, David (1996년 3월). “A new model of the hyperbolic plane” (영어). 《The American Mathematical Monthly》 73 (3). doi:10.2307/2315350. JSTOR 2315350.

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