H-공간

H-공간(H-space)과 쌍대 H-공간(co-H-space)은 위상 공간으로부터 정의된 대수 구조이다.

정의

위상 공간 $X$ 가 주어졌을 때, H-공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

연속 함수 $μ : X \times X \to X$
항등원 $e \in X$ : 모든 $x \in X$ 에 대해 $x \mapsto μ (x, e)$ 와 $x \mapsto μ (e, x)$ 가 모두 항등 함수 ${id}_{x}$ 와 호모토피 동치가 되게 한다.

H-공간은 항등원이 있는 마그마이지만 일반적으로 역원이 존재하지 않고 결합 법칙이 성립하지 않는다. 만약 군의 공리를 만족하는 경우 H-군(H-group)이라 부른다.

쌍대 H-공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

위상군 $G$ 와 그 연산 $G \times G \to G$ 는 그 자체로 H-군을 이룬다.

초구의 경우 H-공간이 되는 것은 $𝕊^{0}$ , $𝕊^{1}$ , $𝕊^{3}$ , $𝕊^{7}$ 밖에 없다. $𝕊^{7}$ 을 제외한 나머지 3개는 모두 H-군이며 리 군을 이룬다.

$n \geq 1$ 일 경우 초구 $𝕊^{n}$ 에 다음과 같은 CW 복합체 구조를 줄 수 있다:

적도에 있는 $n - 1$ 차원 세포 $𝕊^{n - 1} ↪ 𝕊^{n}$ 에 대한 몫공간 $𝕊^{n} / 𝕊^{n - 1}$ 을 취하면 두 초구의 쐐기합을 얻는다.

w_{n} : 𝕊^{n} ↠ 𝕊^{n} / 𝕊^{n - 1} ≅ 𝕊^{n} \lor 𝕊^{n}

이 몫공간 함수 $w_{n}$ 을 연산자로 삼아서 $𝕊^{n}$ 위의 쌍대 H-공간을 정의할 수 있다.

일반적으로 임의의 점을 가진 공간 $X$ 에 대하여 그 축소 현수 $Σ X$ 는 쌍대 H-공간을 이룬다. $Σ X = X \land 𝕊^{1} = (X \times 𝕊^{1}) / (X \lor 𝕊^{1})$ 위에서 연산을 다음과 같이 정의한다.

({id}_{X} \land w_{1}) : X \land 𝕊^{1} \to X \land (𝕊^{1} \lor 𝕊^{1}) ≅ (X \land 𝕊^{1}) \lor (X \land 𝕊^{1})

여기서 $\land$ 는 분쇄곱, $\lor$ 는 쐐기합이고, $w_{1}$ 은 위 초구의 쌍대 H-공간에서 정의한 연산이다. 초구의 경우 $Σ 𝕊^{n - 1} ≃ 𝕊^{n}$ 이므로, 초구의 쌍대 H-공간 구조는 현수의 쌍대 H-공간 구조의 특수한 경우이다.

거꾸로 고리 공간 $Ω X$ 는 H-공간을 이룬다. 구체적으로, $Ω X$ 위의 곱셈은 다음과 같다.

m : (γ, γ^{'}) \mapsto (γ \lor γ^{'}) \circ w_{1}

여기서

γ, γ^{'} : 𝕊^{1} \to X

γ \lor γ^{'} : 𝕊^{1} \lor 𝕊^{1} \to X

w_{1} : 𝕊^{1} \to 𝕊^{1} \lor 𝕊^{1}

이다.

아벨 군 $G$ 및 자연수 $n$ 에 대하여, 에일렌베르크-매클레인 공간 $K (G, n)$ 는 다른 공간의 고리 공간이다.

K (G, n) ≃ Ω K (G, n + 1)

그러므로 에일렌베르크-매클레인 공간 $K (G, n)$ 은 H-공간을 이룬다.

마찬가지로 유한 생성 아벨 군 $G$ 및 $n \geq 3$ 의 경우 피터슨 공간 $P (G, n)$ 는 다른 공간의 축소 현수 공간이다.

P (G, n) ≃ Σ P (G, n - 1)

그러므로 피터슨 공간 $P (G, n)$ 은 쌍대 H-공간을 이룬다.

호모토피 군은 초구에서 공간 $X$ 으로 가는 호모토피류 $[𝕊^{n}, X]_{∙}$ 로, 그 위에서의 연산은 호모토피 합성함수 $h : 𝕊^{n} \lor 𝕊^{n} \to 𝕊^{n}$ 에 의해 정의된다:

[f] \cdot [g] : x \mapsto (f \lor g) (h (x))

일반적으로, 쌍대 H-공간 $(X, μ)$ 에서 공간 $Y$ 로 가는 호모토피류 $[X, Y]_{∙}$ 위의 이항 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.

[f] \cdot [g] : x \mapsto (f \lor g) (μ (x))

거꾸로 공간 $X$ 에서 H-공간 $(Y, μ)$ 로 가는 호모토피류의 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.

[f] \cdot [g] : x \mapsto μ (f (x), g (x))

위에서 만약 각각이 (쌍대) H-군의 구조를 가질 경우 $[X, Y]_{∙}$ 은 군의 구조를 가진다.

에크만-힐튼 쌍대성에 의해 축소 현수 $Σ$ 와 고리 공간 $Ω$ 는 서로 수반 함자를 이루므로, 이에 의한 호모토피류의 군 구조도 서로 일치한다:

[X, Ω Y]_{∙} ≅ [Σ X, Y]_{∙}

특히, $Σ 𝕊^{n - 1} ≅ 𝕊^{n}$ 이므로 호모토피 군에 대해 $π_{n - 1} (Ω X) ≅ π_{n} (X)$ 가 성립한다.

장피에르 세르가 하인츠 호프의 이론에 영향을 받아 만들었고, 호프의 이름의 머리글자인 H를 붙였다.^[1]

↑ J. R. Hubbuck. "A Short History of H-spaces", History of topology, 1999, pages 747–755.