체흐 코호몰로지

대수적 위상수학에서 체흐 코호몰로지(영어: Čech cohomology)는 위상 공간 위의 층 코호몰로지를 공간을 작은 조각으로 쪼개어 정의·계산하는 방법이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 $X$
• $X$ 위의 아벨 군 준층 $ℱ\in \mathrm{PSh}(X;\mathrm{Ab})$

그렇다면, 각 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, $(X,𝒰)$의 $ℱ$계수 $n$차 체흐 코호몰로지 ${\check{\mathrm{H}}}^n(X;ℱ)$는 아벨 군이다. 이는 구체적으로 공사슬 복합체를 통해 정의될 수 있으며, 추상적으로 오른쪽 유도 함자로서 정의될 수도 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다.

이 개념은 일반적으로 사용되는 $𝒰$에 의존한다. 그러나 $X$ 위의 열린 덮개들은 유항체계(directed system)를 이루며, ($𝒰$에 의존하지 않는) $X$의 체흐 코호몰로지 ${\check{\mathrm{H}}}^{\bullet }(X;ℱ)$를 모든 열린 덮개 $𝒰$에 대한 코호몰로지 ${\check{\mathrm{H}}}^{\bullet }(X,𝒰;ℱ)$의 귀납적 극한이다. 즉,

${\check{\mathrm{H}}}^n(X;ℱ)=\underrightarrow{\lim }{\check{H}}^n(X,𝒰;ℱ)$

이다.

구체적 정의

단체와 사슬

$n$차 체흐 단체(Čech單體, 영어: Čech simplex) $\sigma$는 그 교집합이 0이 아닌, $n+1$개의 $𝒰$의 원소의 순서쌍 $(U_0,\dots ,U_n)$이다. 단체의 지지 집합(영어: support) $|\sigma |$은 다음과 같은, 모든 성분들의 교집합이다.

$|\sigma |=\bigcap _{k=0}^n{U}_n$

$n$차 체흐 단체를 기저로 하는 자유 아벨 군을 ${\check{C}}^n$이라고 하자. ${\check{C}}^n$의 원소를 $n$차 체흐 사슬(영어: Čech chain)이라고 한다.

$n$차 체흐 단체 $\sigma$의 부분 경계(部分境界, 영어: partial boundary) ${\partial }_k\sigma$는 다음과 같다.

${\partial }_k\sigma =(U_0,\dots ,U_{k-1},U_{k+1},\dots ,U_n)$.

$\sigma$의 경계(境界, 영어: boundary) $\partial \sigma$는 다음과 같다.

$\partial \sigma =\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{\partial }_k\sigma \in {\check{C}}^{n-1}$.

마찬가지로 $n$차 사슬의 경계를 (선형으로) 정의할 수 있다. $n$차 사슬의 경계는 $n-1$차 사슬이다.

공사슬

$n$차 체흐 공사슬(Čech共-, 영어: Čech cochain) $\varphi$는 $n$차 단체 $\sigma$를 아벨 군 원소 $\varphi (\sigma )\in ℱ(|\sigma |)$와 대응시키는 함수이다. $n$차 공사슬의 집합을 ${\check{C}}^n(X,𝒰;ℱ)$라고 하자. 이는 점별 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다.

공사슬의 공경계(共境界, 영어: coboundary)

${\delta }^n:{\check{C}}^n(X,𝒰;ℱ)\to {\check{C}}^{n+1}(X,𝒰;ℱ)$

는 다음과 같다. 단체 $\sigma$에 대하여,

$({\delta }^n\varphi )(\sigma )=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{\mathrm{res}}_{|\sigma |}^{|{\partial }_k\sigma |}\varphi ({\partial }_k\sigma )$.

여기서

${\mathrm{res}}_{|\sigma |}^{|{\partial }_k\sigma |}:ℱ(|{\partial }_k\sigma |)\to ℱ(|\sigma |)$

는 부분 집합에 대한 제한 사상이다. 계산을 통해 ${\delta }^{n+1}\circ {\delta }^n=0$임을 확인할 수 있다. 따라서 이는 공사슬 복합체를 이루며, 그 코호몰로지를

${\check{\mathrm{H}}}^{\bullet }(X,𝒰;ℱ)$

라고 하자.

유도 함자 구성

체흐 코호몰로지는 보다 추상적으로 유도 함자를 통해 정의할 수 있다. 즉, 0차 체흐 코호몰로지는 다음과 같이 쉽게 구체적으로 정의할 수 있다.

${\check{\mathrm{H}}}^0(X,𝒰;ℱ)=\{({\varphi }_U{)}_{U\in ℱ}\in C^0:\mathrm{\forall }U,V\in 𝒰:U\cap V\ne \varnothing ⟹{\mathrm{res}}_{U\cap V}^U{\varphi }_U={\mathrm{res}}_{U\cap V}^V{\varphi }_V\}$

여기서 ${\check{C}}^0$는 0차 체흐 공사슬, 즉 각 $U\in 𝒰$에 대하여 $ℱ(U)$의 원소 ${\varphi }_U\in {ℱ}_U$를 대응시키는 대상들의 집합이다. 만약 $ℱ$가 층이라면 이는 대역 단면 ${\Gamma }_X(ℱ)$과 같지만, 준층이라면 같을 필요가 없다.

0차 체흐 코호몰로지는 함자

${\check{\mathrm{H}}}^0(X,𝒰;-):\mathrm{PSh}(X;\mathrm{Ab})\to \mathrm{Ab}$

를 정의한다. 이 함자는 왼쪽 완전 함자임을 보일 수 있으며, 그 오른쪽 유도 함자들은 고차 체흐 코호몰로지와 일치한다.

${\mathrm{R}}^{\bullet }({\check{\mathrm{H}}}^0(X,𝒰;-))={\check{\mathrm{H}}}^{\bullet }(X,𝒰;-)$

여기서 준층 범주를 사용하는 것은 매우 중요하다. 층 범주에서는 0차 체흐 코호몰로지 함자 ${\check{\mathrm{H}}}^0(X,𝒰;-)$는 단면 함자 ${\Gamma }_X(-)$와 일치하며, 이 함자의 오른쪽 유도 함자는 단순히 층 코호몰로지와 같다.

성질

특이 코호몰로지와의 관계

임의의 아벨 군 $G$에 대하여, 그 상수층 $\underset{\_}{G}$을 생각하자. 만약 위상 공간 $X$가 CW 복합체와 호모토피 동치라면, 그 $\underset{\_}{G}$ 계수 체흐 코호몰로지는 $G$ 계수 특이 코호몰로지와 표준적으로 동형이다.

${\check{\mathrm{H}}}^{\bullet }(X;\underset{\_}{G})\cong {\mathrm{H}}_{\text{sing}}^{\bullet }(X;G)$

그러나 체흐 코호몰로지가 특이 코호몰로지와 다르게 되는 위상 공간이 존재한다.

체흐-유도 함자 스펙트럼 열

체흐 코호몰로지는 특정한 경우 유도 함자로 정의된 층 코호몰로지와 일치한다. 이 사실은 마이어-피토리스 스펙트럼 열(영어: Mayer–Vietoris spectral sequence) 또는 체흐-유도 함자 스펙트럼 열(영어: Čech-to-derived-functor spectral sequence)의 존재에 의하여 함의된다.^{:Théorème 5.4.1}

구체적으로, 위상 공간 $X$ 위의 아벨 군 값의 층 $ℱ$ 및 열린 덮개 $𝒰$가 주어졌다고 하자. ${\mathscr{H}}^q(X;ℱ)$가 다음과 같은 준층이라고 하자.

${\mathscr{H}}^q(X;ℱ):U\mapsto {\mathrm{H}}^q(U;ℱ)$

그렇다면, 마이어-피토리스 스펙트럼 열의 두 번째 쪽은 다음과 같다.

$E_2^{p,q}={\check{\mathrm{H}}}^p(X,𝒰;{\mathscr{H}}^q(X;ℱ))$

만약 $𝒰$가 두 개의 열린집합만으로 구성된다면, 마이어-피토리스 스펙트럼 열은 마이어-피토리스 열로 퇴화한다. 이 스펙트럼 열은 다음과 같은 함자들로 유도되는, 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

$\mathrm{Sh}(X;\mathrm{Ab})\hookrightarrow \mathrm{PSh}(X;\mathrm{Ab})\stackrel{{\check{\mathrm{H}}}^0(X,𝒰;-)}{\to }\mathrm{Ab}$

여기서 $\mathrm{Sh}$는 층 범주, $\mathrm{PSh}$는 준층 범주를 뜻한다.

적절한 조건 아래 마이어-피토리스 스펙트럼 열은 층 코호몰로지로 수렴한다.

$E_2^{p,q}\Rightarrow {\mathrm{H}}^{p+q}(X;ℱ)$

특히, 만약 마이어-피토리스 스펙트럼 열이 둘째 쪽에서 퇴화한다면 ${\check{\mathrm{H}}}^p(X,𝒰;ℱ)$는 층 코호몰로지와 일치한다. 구체적으로, 마이어-피토리스 스펙트럼 열이 둘째 쪽에서 퇴화하는 충분조건은 다음과 같다.

• 모든 유한 부분 집합 $𝒜\subseteq 𝒰$에 대하여 $ℱ{|}_{\bigcap 𝒜}$는 비순환층이다 (즉, ${\mathrm{H}}^i(\bigcap 𝒜;ℱ)=0\mathrm{\forall }i>0$이다).

이를 르레 정리(영어: Leray’s theorem)라고 하고, 이 조건을 만족시키는 열린 덮개를 르레 덮개(영어: Leray cover)라고 한다.

예

낮은 차수의 체흐 공사슬

편의상 체흐 공사슬 $\varphi$의 값을

$\varphi (U_{i_0},\dots ,U_{i_n})={\varphi }_{i_0\dots i_n}$

으로 표기하자.

낮은 차수의 체흐 공경계 및 체흐 공사슬이 체흐 공순환이 될 조건은 다음과 같다. (편의상, 자명한 제약 사상들을 생략하였다.)

차수	공경계	공순환 조건
0	$({\delta }^0\varphi {)}_{ij}={\varphi }_j-{\varphi }_i$	${\varphi }_i={\varphi }_j$
1	$({\delta }^1\varphi {)}_{ijk}={\varphi }_{jk}-{\varphi }_{ik}+{\varphi }_{ij}$	${\varphi }_{ik}={\varphi }_{ij}+{\varphi }_{jk}$
2	$({\delta }^2\varphi {)}_{ijkl}={\varphi }_{jkl}-{\varphi }_{ikl}+{\varphi }_{ijl}-{\varphi }_{ijk}$	${\varphi }_{jkl}+{\varphi }_{ijl}={\varphi }_{ikl}+{\varphi }_{ijk}$
3	$({\delta }^2\varphi {)}_{ijklm}={\varphi }_{jklm}-{\varphi }_{iklm}+{\varphi }_{ijlm}-{\varphi }_{ijkm}+{\varphi }_{ijkl}$	${\varphi }_{jklm}+{\varphi }_{ijlm}+{\varphi }_{ijkl}={\varphi }_{iklm}+{\varphi }_{ijkm}$

위상수학자의 사인 곡선

위상수학자의 사인 곡선

$T=\{(x,\sin (1/x)):x\in (0,1]\}\cup \{(0,0)\}$

의 폐포

$\mathrm{cl}(T)=T\cup (\{0\}\times [-1,1])$

의 경우, 체흐 코호몰로지와 특이 코호몰로지가 서로 일치하지 않는다. 구체적으로,

${\check{\mathrm{H}}}^1(\mathrm{cl}T;\underset{\_}{\mathbb{Z}})\cong \mathbb{Z}$

${\mathrm{H}}_{\text{sing}}^1(\mathrm{cl}T;\mathbb{Z})\cong 0$

이다.

스킴

분리 스킴 위의 연접층에 대하여, 열린 아핀 부분 스킴들로 구성된 덮개는 항상 르레 덮개이다. 여기서 분리성 및 연접성은 다음과 같이 필요하다.

• 분리 스킴의 조건에 의하여 열린 아핀 부분 스킴들의 교집합 역시 열린 아핀 부분 스킴이다.
• 연접층의 조건에 의하여, 아핀 스킴 위의 연접층은 항상 비순환층이다.

역사

러시아의 파벨 알렉산드로프와 체코의 에두아르트 체흐가 도입하였다. 르레 정리는 장 르레가 1950년에 도입하였다.

각주

• Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. 
• Edwards, David; Hastings, Harold M. (1980). “Čech Theory: Its past, present, and future” (영어). 《Rocky Mountain Journal of Mathematics》 10 (3): 429-468. doi:10.1216/RMJ-1980-10-3-429. MR 590209. Zbl 0464.55001. 

외부 링크

• “Čech cohomology” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Aleksandrov-Čech homology and cohomology” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Nerve of a family of sets” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Čech cohomology” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Aleksandrov-Čech cohomology” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Nerve” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Čech cohomology” (영어). 《nLab》. 
• “Čech nerve” (영어). 《nLab》. 
• “Čech cover” (영어). 《nLab》. 
• “Čech methods” (영어). 《nLab》. 
• “Nerve theorem” (영어). 《nLab》. 
• Mathew, Akhil (2010년 11월 17일). “The Cech-to-derived functor spectral sequence” (영어). 《Climbing Mount Bourbaki》. 2016년 2월 16일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 1월 23일에 확인함. 
• Mathew, Akhil (2009년 12월 24일). “Leray’s theorem” (영어). 《Climbing Mount Bourbaki》. 2016년 2월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 1월 23일에 확인함.