실폐체

체론과 모형 이론에서 실폐체(實閉體, 영어: real closed field)는 실수체와 기본 동치인 체이다.

정의

체 $K$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 체를 실폐체라고 한다.

• $K$의 1차 논리 언어 $(K,+,-,0,\cdot ,1)$는 실수체 $ℝ$의 1차 논리 언어 $(ℝ,+,-,0,\cdot ,1)$과 기본 동치이다.
• 모든 홀수 차수 다항식은 적어도 하나의 근을 가지며, 또한 $K$ 위에 다음 두 조건을 만족시키는 전순서 $\le$가 존재한다.
  • $(K,\le )$는 순서체를 이룬다.
  • 모든 양의 원소는 제곱수이다. 즉, $\mathrm{\forall }a\in K:(a>0⟹\mathrm{\exists }b\in K:a=b^2)$이다.
• $K$ 위에 다음 조건을 만족시키는 전순서 $\le$가 존재한다.
  • $(K,\le )$는 순서체를 이룬다.
  • $\le$는 대수적 확대에 대하여 확대될 수 없다. 즉, $K$의 임의의 대수적 확대 $L/K$에 대하여, 만약 $[L:K]>1$이며, $L$에 전순서 ${\le }_L$를 부여하여 $(L,{\le }_L)$이 순서체를 이룬다면, ${\le }_L{|}_{K\times K}\ne \le$이다.
• $K$ 위에 다음 조건을 만족시키는 전순서 $\le$가 존재한다.
  • $(K,\le )$는 순서체를 이룬다.
  • 모든 다항식에 대하여 중간값 정리가 성립한다. 즉, 임의의 $p\in K[x]$ 및 임의의 $a,b\in K$ 및 임의의 $\tilde{c}\in K$에 대하여, 만약 $a\le b$이며 $f(a)\le \tilde{c}\le f(b)$라면, $f(c)=\tilde{c}$이자 $a\le c\le b$인 $c\in K$가 존재한다.
• $K$는 대수적으로 닫힌 체가 아니며, 또한 $\overline{K}/K$는 유한 확대이다.
• $K$는 대수적으로 닫힌 체가 아니며, 확대체 $K(\sqrt{-1})$은 대수적으로 닫힌 체이다.
• $K$는 스스로의 대수적 폐포 속에서 극대 형식적 실체(영어: formally real field)이다. 즉, $K$는 형식적 실체이며, 임의의 대수적 확대 $L/K$에 대하여 $[L:K]>1$이라면, $L$은 형식적 실체가 아니다.

실폐체 $K$ 위에는 다음과 같이 표준적인 전순서를 주어 순서체로 만들 수 있다.

$a\le b⟺\mathrm{\exists }c\in K:a+c^2=b$

성질

아르틴-슈라이어 정리(영어: Artin–Schreier theorem)에 따르면, 임의의 순서체 $(K,\le )$ 및 그 대수적 폐포 $\overline{K}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 중간체 $K\le K^{\mathrm{re}}\le \overline{K}$가 존재한다.

• $K^{\mathrm{re}}$는 실폐체이다.
• $K^{\mathrm{re}}$ 위의 표준적 전순서 ${\le }_{K^{\mathrm{re}}}$를 $K$에 제한하면, 이는 $\le$와 같다.

이 경우 $K^{\mathrm{re}}$를 $K$의 실폐포(實閉包, 영어: real closure)라고 한다.

예

다음과 같은 체들은 실폐체를 이룬다.

• 실수인 대수적 수들의 체 $\overline{\mathbb{Q}}\cap ℝ$
• 계산 가능한 수의 체
• 정의 가능한 수의 체
• 실수체 $ℝ$
• 모든 초실수체
• 실수 계수의 퓌죄 급수들의 체 $ℝ((x,x^{1/2},x^{1/3},x^{1/4},\dots ))$

참고 문헌

• Rajwade, A. R. (1993). 《Squares》 (영어). London Mathematical Society Lecture Note Series 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 

외부 링크

• “Real closed field” (영어). 《nLab》.