형식적 실체

체론에서 형식적 실체(形式的實體, 영어: formally real field)는 순서체로 만들 수 있는 체이다.

정의

체 $K$ 의 수준(水準, 독일어: Stufe 슈투페^[*]) $Stufe K$ 은 $- 1$ 을 제곱수들의 합으로 나타내었을 때 필요한 항들의 수의 최솟값이다. 만약 $- 1$ 을 제곱수들의 합으로 나타낼 수 없는 경우, 수준은 $\infty$ 이다.

Stufe K = \min {| S | : \sum_{s \in S} s^{2} = - 1, S \subseteq K, | S | < ℵ_{0}} \in ℤ^{+} \cup {\infty}

체 $K$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 체를 형식적 실체(영어: formally real field)라고 한다.

수준이 무한대이다. $Stufe K = \infty$
피타고라스 수가 무한대이며 (즉, 제곱수의 합이 아닌 원소가 존재하며), 표수가 2가 아니다.
$K$ 의 원소들로 구성된 임의의 유한 중복집합 $S$ 에 대하여, 만약 $\sum_{s \in S} s^{2} = 0$ 이라면 $S$ 의 모든 원소들은 0이다.
$K$ 의 원소들로 구성된 임의의 유한 중복집합 $S$ 에 대하여, 만약 $\sum_{s \in S} s^{2} = 0$ 이라면 $S$ 의 모든 원소들은 0이다.
$K$ 는 순서체가 될 수 있다. 즉, $K$ 를 순서체로 만드는 전순서가 존재한다.

성질

모든 체의 수준은 항상 무한대이거나 아니면 2의 거듭제곱이다.

Stufe K \in {\infty, 1, 2, 4, 8, \dots}

만약 $K$ 의 표수가 2라면, 그 수준은 항상 1이다.

char K = 2 ⟹ Stufe K = 1

만약 $K$ 의 표수가 양수라면, 그 수준은 항상 1 또는 2이다.

char K > 0 ⟹ Stufe K \in {1, 2}

만약 $K$ 에서 모든 원소가 제곱근을 갖는다면, $K$ 의 수준은 항상 1이다.

(\forall a \in K \exists b \in K : b^{2} = a) ⟹ Stufe K = 1

지겔 정리(영어: Siegel’s theorem)에 따르면, 대수적 수체의 수준은 1, 2, 4, 또는 ∞이다.

$K$ 의 준위는 피타고라스 수 $Pyth K$ 와 다음과 같은 부등식을 만족시킨다.

Pyth K \leq Stufe K + 1

형식적 실수가 아닌 체의 경우, 다음이 성립한다.

Stufe K < \infty ⟹ Stufe K \leq Pyth K \leq Stufe K + 1

모든 형식적 실체는 (순서체로 만들 수 있으므로) 표수가 0이다. 모든 실폐체는 형식적 실체이다. 형식적 실체 $K$ 의 대수적 폐포 $\bar{K}$ 가 주어졌을 때, $K$ 를 포함하는 $\bar{K}$ 속의 유일한 실폐체 $K^{re}$ 가 존재하며, 이를 $K$ 의 실폐포(영어: real closure)라고 한다.

예

대표적인 체의 수준은 다음과 같다.

체	수준
대수적으로 닫힌 체	1
실폐체	∞
유리수체 $ℚ$	∞
유한체 $𝔽_{q}$ , $q \equiv 3 (\mod 4)$	2
유한체 $𝔽_{q}$ , $q \equiv̸ 3 (\mod 4)$	1
비아르키메데스 국소체 $K$ , 이산 값매김환 $𝒪_{K}$ 의 잉여류체 $𝔽_{p^{n}}$ 의 표수가 홀수인 경우	$p$
2진수체 $ℚ_{2}$	4
가우스 유리수 $ℚ (\sqrt{- 1})$	1
이차 수체 $ℚ (\sqrt{- 2})$	2
이차 수체 $ℚ (\sqrt{- 7})$	4

참고 문헌

Rajwade, A. R. (1993). 《Squares》 (영어). London Mathematical Society Lecture Note Series 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.
Lam, Tsit-Yuen (2005). 《Introduction to quadratic forms over fields》 (영어). Graduate Studies in Mathematics 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
Prestel, A. (1984). 《Lectures on formally real fields》 (영어). Lecture Notes in Mathematics 1093. Springer. doi:10.1007/BFb0101548. ISBN 978-3-540-13885-3. ISSN 0075-8434.

외부 링크

“Formally real field” (영어). 《nLab》.
“Formally real algebra” (영어). 《nLab》.

같이 보기

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