양자 코호몰로지

대수기하학과 심플렉틱 기하학에서 양자 코호몰로지(量子cohomology, 영어: quantum cohomology)는 코호몰로지 환의 q-변형이다. 양자 코호몰로지의 곱은 그로모프-위튼 불변량으로부터 정의된다.

정의

$M$이 콤팩트 켈러 다양체라고 하자.

노비코프 환

격자 ${\mathrm{H}}_2(M;\mathbb{Z})/\mathrm{Tors}({\mathrm{H}}_2(M;\mathbb{Z}))$의 기저 $\{{\alpha }_i{\}}_{i=1,\dots ,b_2(M)}$를 $M$의 각 2차원 부분 다양체에 대응하게 잡자.

$M$의 노비코프 환(영어: Novikov ring)

$\Lambda =\mathbb{Z}[q_i,q_i^{-1}{]}_{i=1,\dots ,b_2(M)}$

은 다음과 같은 생성원들로 생성되는 정수 계수 가환 형식적 멱급수환이다.

• 각 $i=1,\dots ,b_2(M)$에 대하여, $q_i$. 이들의 등급은 $\mathrm{deg}{q}_i=2c_1(M)(q_i)$이다.

임의의

$\beta =\sum _i{c}_i{\alpha }_i\in {\mathrm{H}}_2(M;\mathbb{Z})/\mathrm{Tors}({\mathrm{H}}_2(M;\mathbb{Z}))$

에 대하여,

$q_{\beta }=\prod _i{q}_i^{c_i}$

로 쓰자. $q_{\alpha }$ 대신 $\exp (\alpha )$로 쓰기도 한다.

만약 $M$이 칼라비-야우 다양체인 경우 $c_1(M)=0$이므로 노비코프 환의 모든 원소들은 등급이 0이다.

작은 양자 코호몰로지

$M$ 위의 작은 양자 코호몰로지(영어: small quantum cohomology) $\mathrm{QH}(M;\Lambda )$는 아벨 군으로서 다음과 같다.

$\mathrm{QH}(M;\Lambda )=\mathrm{H}(M;\Lambda ){\otimes }_{\mathbb{Z}}\Lambda$

이 위의 곱

$*:\mathrm{QH}(M;\Lambda )\times \mathrm{QH}(M;\Lambda )\to \mathrm{QH}(M;\Lambda )$

은 코호몰로지의 합곱 $⌣$과 다르며, 다음과 같이 그로모프-위튼 불변량으로 정의된다.

$\underset{M}{\int }(a*b)⌣c=\sum _{\alpha \in {\mathrm{H}}_2(M;\mathbb{Z})/\mathrm{Tors}({\mathrm{H}}_2(M;\mathbb{Z}))}{\mathrm{GW}}_{0,3}^{M,\alpha }(a,b,c)q_{\alpha }$

이는 결합 법칙 및 등급 가환 법칙을 만족시키며, 등급을 덧셈법으로 보존한다.

$(a*b)*c=a*(b*c)$

$a*b=(-1{)}^{\mathrm{deg}a\mathrm{deg}b}b*a$

$\mathrm{deg}(a*b)=\mathrm{deg}a+\mathrm{deg}b$

$M$ 위의 작은 양자 코호몰로지의 짝수 차수 성분 ${\mathrm{QM}}^{2\bullet }(M)$에서, 0의 (충분히 작은) 근방

$0\in U\subset {\mathrm{QM}}^{2\bullet }(M)$

은 프로베니우스 다양체의 구조를 가진다. 이 경우 작은 양자 코호몰로지 곱 $*$은 $U$의 접다발 $T$ 위의 접속을 이룬다. 작은 양자 코호몰로지 곱의 가환 법칙은 비틀림이 0임을, 결합 법칙은 리만 곡률이 0임을 뜻한다.

큰 양자 코호몰로지

임의의 $a\in U$에 대하여, 다음과 같은 큰 양자 코호몰로지 곱을 정의하자.

${*}_a:U\times U\to U$

$⟨x{*}_{a}y,z⟩=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{\alpha \in {\mathrm{H}}_2(M;\mathbb{Z})/\mathrm{Tors}({\mathrm{H}}_2(M;\mathbb{Z}))}\frac{1}{n!}{\mathrm{GW}}_{0,n+3}^{X,\alpha }(x,y,z,\stackrel{n}{\overbrace{a,\dots ,a}})$

그렇다면, $(U,{*}_a)$를 큰 양자 코호몰로지(영어: big quantum cohomology)라고 한다. 작은 양자 코호몰로지는 종수 0의 그로모프-위튼 불변량 가운데 일부만을 포함하지만, 큰 양자 코호몰로지는 모든 종수 0 그로모프-위튼 불변량을 포함한다.

예

복소수 사영 공간 ${ℂ\mathbb{P}}^n$은 푸비니-슈투디 계량을 부여하면 콤팩트 켈러 다양체를 이룬다. 이 경우, (고전적) 코호몰로지는

${\mathrm{H}}^{\bullet }({ℂ\mathbb{P}}^n;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[p]/(p^{n+1})$

$\mathrm{deg}p=2$

이다.

${\mathrm{H}}_2({ℂ\mathbb{P}}^n;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$

이므로, 양자 코호몰로지에는 한 개의 추가 생성원 $q$가 존재하며,

$c_k({ℂ\mathbb{P}}^n)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})c_1({𝒪}_{ℂP^n}(1))$

이므로

$\mathrm{deg}q=2(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{1})=2(n+1)$

이다. 구체적으로, 작은 양자 코호몰로지는 다음과 같다.

${\mathrm{H}}^{\bullet }({ℂ\mathbb{P}}^n;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[p,q]/(p^{n+1}-q)$

$\mathrm{deg}p=2$

$\mathrm{deg}q=2(n+1)$

이다. $q\to 0$이면 양자 코호몰로지가 고전적 코호몰로지로 수렴하는 것을 알 수 있다.

응용

양자 코호몰로지는 위상 끈 이론에서 2차원 $𝒩=(2,2)$ 시그마 모형의 A-모형 위상 뒤틂의 손지기환으로 등장하며, A-모형과 B-모형 사이의 거울 대칭에 핵심적인 역할을 한다.

참고 문헌

• 조용승 (2012). 《지표이론》. 경문사. ISBN 978-89-6105-622-9. 2014년 11월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 13일에 확인함. 
• 조용승 (2000). “심플렉틱 다양체의 불변량”. 《Communications of the Korean Mathematical Society》 15 (3): 391–434. ISSN 1225-1763. 2015년 7월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 7월 13일에 확인함. 
• McDuff, Dusa; Salamon, Dietmar (2012). 《$J$-holomorphic curves and symplectic topology》 2판 (영어). American Mathematical Society colloquium publications 52. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8746-2. 
• Fulton, W.; Pandharipande, R. (1996). “Notes on stable maps and quantum cohomology” (영어). arXiv:alg-geom/9608011.