에르미트 다양체

미분기하학에서 에르미트 다양체(Hermite多樣體, 영어: Hermitian manifold)는 일종의 계량 텐서를 가진 복소다양체이다. 복소 기하학에서 리만 다양체에 대응되는 개념이다.

켈러 다양체와 칼라비-야우 다양체는 에르미트 다양체의 특수한 경우다.

정의

에르미트 계량

매끄러운 다양체 $M$ 위의 $2n$차원 매끄러운 벡터 다발 $E$ 위의 개복소구조(영어: almost complex structure), 즉 $J^2=-1$이 되는 매끄러운 단면 $J\in {\Gamma }^{\mathrm{\infty }}({\mathrm{End}}_{ℝ}(E))$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 $x\in M$에 대하여,

$J_x{\otimes }_{ℝ}ℂ:E_x{\otimes }_{ℝ}ℂ\to E_x{\otimes }_{ℝ}ℂ$

는 고윳값 $\pm \mathrm{i}$를 가지며, 따라서 부분 복소수 벡터 공간

$E_x{\otimes }_{ℝ}ℂ=E_x^{+}\oplus E_x^{-}$

$(J_x{\otimes }_{ℝ}ℂ)\upharpoonright E_x^{\pm }=\pm \mathrm{i}$

을 정의할 수 있다. 또한, 표준적인 사상

$(-{)}^{\pm }:E_x\to E_x^{\pm }$

$(-{)}^{\pm }:v\mapsto {\mathrm{proj}}_{E_x^{\pm }}(v\otimes ℂ)$

이 존재한다.

그렇다면, $E$ 위의 에르미트 계량(Hermitian metric)은 다음 두 성질을 만족시키는 매끄러운 단면

$h\in {\Gamma }^{\mathrm{\infty }}((E^{+}{)}^{*}{\otimes }_{ℂ}(E^{-}{)}^{*})$

이다. (여기서 $(-{)}^{*}$는 각 올에 대한 복소수 연속 쌍대 공간을 취하는 것이다.)

$h_x(z^{+},w^{-})=\overline{h_x(z^{-},w^{+})}\in ℂ(\mathrm{\forall }z,w\in E_x)$

$h_x(z^{+},z^{-})\in {ℝ}^{+}(\mathrm{\forall }z\in E_x\setminus \{0\})$

여기서 $\bar{x}$는 복소수의 복소켤레를 뜻한다. 이를 국소 좌표계로 표현하면 다음과 같다. 우선, $E^{+}$의 첨자를 $i,j,\dots$로, $E^{-}$의 첨자를 $\overline{i},\overline{j},\dots$로 표기하자. 마찬가지로, $z\in E_x$에 대하여 $z^{+}$의 성분을 $z^i$로, $z^{-}$의 성분을 ${\overline{z}}^{\overline{i}}$로 표기하자. 그렇다면,

$h_{i\overline{j}}{z}^i{\overline{w}}^{\overline{j}}={\bar{h}}_{i\overline{j}}{z}^i{\overline{w}}^{\overline{j}}\in ℂ(\mathrm{\forall }z,w\in E_x)$

$h_{i\overline{j}}{z}^i{\overline{z}}^{\overline{j}}\in {ℝ}^{+}(\mathrm{\forall }z\in E_x\setminus \{0\})$

특히, 첫째 조건은 $h_{i\overline{j}}$가 에르미트 행렬을 이룬다는 것이며, 둘째 조건은 이 에르미트 행렬의 고윳값이 모두 양의 실수라는 것이다.

에르미트 다양체

개복소다양체 (또는 복소다양체) $M$이 주어졌다고 하자. 이 경우, 접다발 $\mathrm{T}M$ 위에 개복소구조 $J\in {\Gamma }^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{End}(\mathrm{T}M))$가 주어져 ${\mathrm{T}}^{\pm }M$을 정의할 수 있다.

에르미트 다양체 $(M,h)$는 ${\mathrm{T}}^{\pm }M$ 위에 에르미트 계량 $h\in {\Gamma }^{\mathrm{\infty }}({\mathrm{T}}^{+*}M{\otimes }_{ℂ}{\mathrm{T}}^{-*}M)$가 주어진 복소다양체이다.

성질

리만 구조

모든 에르미트 다양체는 자연스러운 리만 계량을 가져, 리만 다양체를 이룬다. 이 경우 리만 계량은 다음과 같다.

$g^{ℂ}=\frac{1}{2}(h+\overline{h})\in {\Gamma }^{\mathrm{\infty }}\left({\mathrm{T}}^{*}M{\otimes }_{ℝ}{\mathrm{T}}^{*}M{\otimes }_{ℝ}ℂ\right)$

이 경우, $g^{ℂ}(u,v)={\overline{g}}^{ℂ}$이므로, 이는 $g\in {\Gamma }^{\mathrm{\infty }}((\mathrm{T}M\otimes \mathrm{T}M{)}^{*})$로 제약이 가능하며, 이는 리만 계량을 이룬다.

또한, $h$를 사용하여 다음과 같은 (1,1)-복소수 미분 형식 $\omega \in {\Omega }^{1,1}(M)$를 정의할 수 있다.

$\omega =\frac{\mathrm{i}}{2}(h-\overline{h})$

${\omega }_{\alpha \overline{\beta }}=\frac{\mathrm{i}}{2}{h}_{\alpha \overline{\beta }}\mathrm{d}{z}^{\alpha }\wedge \mathrm{d}{\overline{z}}^{\overline{\beta }}$

천 접속

복소다양체 $M$ 위의 해석적 벡터 다발 $(E,J)$ 위의 에르미트 계량 $h$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $E$ 위에는 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 코쥘 접속 $\mathrm{\nabla }$가 존재한다. 이를 천 접속([陳]接續, Chern connection)이라고 한다.

• $\mathrm{\nabla }J=0$
• $\mathrm{\nabla }g=0$

만약 $E=\mathrm{T}M$일 경우 (에르미트 다양체), 이는 $\mathrm{T}M$ 위의 레비치비타 접속과는 다르며, 비틀림을 가진다. 다만, 만약 에르미트 다양체가 켈러 다양체인 경우, 비틀림이 0이며, 천 접속과 레비치비타 접속은 일치한다.

외부 링크

• “Hermitian structure” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hermitian metric” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Rowland, Todd. “Hermitian metric” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Hermitian manifold” (영어). 《nLab》. 
• “Almost Hermitian structure” (영어). 《nLab》.