접다발

파일:Tangent bundle.svg

유클리드 평면에 매장된 원의 접다발의 형상화.

섬네일을 만드는 중 오류 발생:

3차원 유클리드 공간에 매장된 구의 접공간은 유클리드 공간 속의 평면으로 형상화된다.

미분기하학에서, 매끄러운 다양체의 접다발(接-, 영어: tangent bundle)은 각 점 위의 접공간들의 서로소 합집합들로 구성된 벡터 다발이다.

정의

$M$이 $n$차원 매끄러운 다양체라고 하고, 그 매끄러운 국소 좌표계

$(U_i,{\varphi }_i:U_i\to {ℝ}^n{)}_{i\in I}$

가 주어졌다고 하자 ($(U_i{)}_{\in I}$는 $M$의 열린 덮개).

그렇다면, $M$의 접다발은 다음과 같은 위상 공간이다.

$\mathrm{T}M=\frac{\underset{i\in I}{⨆}{U}_i\times {ℝ}^n}{\sim }$

여기서, 각 성분들을 이어붙이는 동치 관계 $\sim$은 다음과 같다.

$(x,u)\sim (x,v)⟺\mathrm{\forall }\mu \in \{1,\dots ,n\}:u^{\mu }=\sum _{\nu =1}^n{v}^{\nu }\frac{\partial {\varphi }_i(x{)}^{\mu }}{\partial {\varphi }_j(x{)}^{\nu }}\mathrm{\forall }i,j\in I,x\in U_i\cap U_j,u,v\in {ℝ}^n$

여기서 ${\varphi }_i(x{)}^{\mu }$는 ${\varphi }_i(x)\in {ℝ}^n$의 $\mu$번째 성분이다.

그렇다면, 이는 자연스러운 사영 사상

$\pi :\mathrm{T}M\twoheadrightarrow M$

$\pi :[(x,v)]\mapsto x$

을 통해 $M$ 위의 매끄러운 벡터 다발을 이룬다.

$x\in M$의 접공간(接空間, 영어: tangent space) ${\mathrm{T}}_{x}M$은 접다발의 올이다. 만약 $M$에서 어떤 유클리드 공간으로의 (매끄러운) 몰입이 주어졌다면, 이는 $M$에 "접하는" $n$차원 초평면으로 여길 수 있다.

매끄러운 다양체 $M$의 접다발의 쌍대 벡터 다발 ${\mathrm{T}}^{*}M$을 공변접다발(共變接- 영어: cotangent bundle) 또는 여접다발(餘接-)이라고 한다. 이는 보다 직접적으로

${\mathrm{T}}^{*}M=\frac{\underset{i\in I}{⨆}{U}_i\times {ℝ}^n}{{\sim }^{\prime }}$

$(x,u){\sim }^{\prime }(x,v)⟺\mathrm{\forall }\mu \in \{1,\dots ,n\}:u_{\mu }=\sum _{\nu =1}^n{v}_{\nu }\frac{\partial {\varphi }_j(x{)}^{\nu }}{\partial {\varphi }_i(x{)}^{\mu }}\mathrm{\forall }i,j\in I,x\in U_i\cap U_j,u,v\in {ℝ}^n$

와 같이 정의될 수 있다. 마찬가지로, $x\in M$의 공변접공간(共變接空間, 영어: cotangent space) ${\mathrm{T}}_x^{*}M$은 공변접다발의 올이다.

벡터장과 텐서장

$M$의 접다발 $\mathrm{T}M$의 매끄러운 단면을 벡터장이라고 한다. $M$의 공변접다발 ${\mathrm{T}}^{*}M$의 매끄러운 단면을 1차 미분 형식이라고 한다. $M$의 접다발과 공변접다발들의 텐서곱

$\stackrel{p}{\overbrace{\mathrm{T}M\otimes \cdots \mathrm{T}M}}\otimes \stackrel{q}{\overbrace{{\mathrm{T}}^{*}M\otimes \cdots \otimes {\mathrm{T}}^{*}M}}$

의 매끄러운 단면을 $(p,q)$차 텐서장이라고 한다.

예

만약 어떤 매끄러운 다양체 $M$의 (공변)접다발이 자명한 벡터 다발이라면, $M$을 평행화 가능 다양체(영어: parallelizable manifold)라고 한다. 초구 ${𝕊}^n$ 가운데 평행화 가능 다양체인 것은 ${𝕊}^0$, ${𝕊}^1$, ${𝕊}^3$, ${𝕊}^7$ 밖에 없다.

모든 3차원 가향 다양체는 평행화 가능 다양체이다.

리만 다양체

준 리만 다양체 $(M,g)$의 경우, 각 점 $x\in M$에서 접다발과 공변접다발 사이의 동형 사상

$(-{)}^{\mathrm{♭}}:{\mathrm{T}}_{x}M\to {\mathrm{T}}_x^{*}M$

$(-{)}^{\mathrm{♭}}:v\mapsto g(v,-)$

$(-{)}^{\mathrm{♯}}:{\mathrm{T}}_x^{*}M\to {\mathrm{T}}_{x}M$

$(-{)}^{\mathrm{♯}}:g(v,-)\mapsto v$

이 존재하며, 이는 접다발과 공변접다발 사이의 매끄러운 벡터 다발 동형 사상을 정의한다. 이를 음악 동형(音樂同形, 영어: musical isomorphism)이라고 한다.

여기서 "음악"이라는 어원은 악보의 올림표(♯)와 내림표(♭) 기호를 사용하기 때문이다. 이러한 기호를 사용하는 이유는, 보통 접다발의 단면은 윗첨자(${}^{\mu }$), 공변접다발의 단면은 아랫첨자(${}_{\mu }$)로 표기하므로, $(-{)}^{\mathrm{♭}}$은 윗첨자를 아랫첨자로 "내리고", $(-{)}^{\mathrm{♯}}$는 아랫첨자를 윗첨자로 "올리기" 때문이다.

참고 문헌

• Chern, Shiing-Shen; Chen, Wei-Huan; Lam, Kai-Shue (1999년 11월). 《Lectures on differential geometry》 (영어). Series on University Mathematics 1. World Scientific. doi:10.1142/3812. ISBN 978-981-02-3494-2. 

같이 보기

• 공변접다발
• 미분 사상
• 틀다발

외부 링크

• “Tangent bundle” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Tangent bundle” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Tangent bundle section” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cotangent bundle” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Tangent bundle” (영어). 《nLab》. 
• “Cotangent bundle” (영어). 《nLab》. 
• “Generalized tangent bundle” (영어). 《nLab》. 
• “Synthetic tangent bundle” (영어). 《nLab》.