군의 작용

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군론에서 군의 작용(群의作用, 영어: group action)은 어떤 군으로부터, 어떤 집합의 대칭군으로 가는 군 준동형이다. 대략, 어떤 공간 위에 대칭군의 원소가 정의하는 대칭 변환의 개념을 추상화한 것이다.

정의

모노이드 $M$ 의, 집합 $X$ 위의 왼쪽 작용(영어: left action of $M$ on $X$ )은 여러 가지로 정의할 수 있다. 가장 기초적으로 모노이드 작용은 특정한 함수 $M \times X \to X$ 로 정의할 수 있으며, 또 특정한 모노이드 준동형으로, 또는 함자로도 생각할 수 있다. 모노이드 $M$ 의 작용을 갖춘 집합을 $M$ -집합(영어: $M$ -set)이라고 한다. 두 $M$ -집합 사이의 함수 가운데, 작용과 호환되는 것을 등변 함수(等變函數, 영어: equivariant function)라고 한다. $M$ -집합을 대상으로 하고, 등변 함수를 사상으로 하는 범주가 존재하며, 이를 $M -Set$ 또는 ${Set}^{M}$ 으로 쓴다.

모든 군은 모노이드를 이루며, 군의 작용(영어: group action)은 모노이드로서의 작용과 같다. (마찬가지로, 반군의 작용을 정의할 수 있다. 그러나 군과 모노이드 사이의 관계와 달리, 모노이드 $M$ 의 반군 작용 가운데, 모노이드 작용이 아닌 것이 존재할 수 있다. 즉, 모노이드의 반군 작용에서는 항등원이 항등 함수가 아니게 작용할 수 있다.)

함수를 통한 정의

모노이드 $M$ 의, 집합 $X$ 위의 왼쪽 작용(영어: left action of $M$ on $X$ )은 다음 조건들을 만족시키는 함수 $\cdot : M \times X \to X$ 이다.

(모노이드 항등원은 항등 함수) 임의의 $x \in X$ 에 대하여, $1_{M} \cdot x = x$ . 여기서 $1_{M} \in M$ 은 $M$ 의 항등원이다.
(모노이드 연산은 함수의 합성) 임의의 $m, n \in M$ 및 $x \in X$ 에 대하여, $(m n) \cdot x = m \cdot (n \cdot x)$

모노이드 $M$ 의, 집합 $X$ 위의 오른쪽 작용(영어: right action of $M$ on $X$ )은 다음 조건들을 만족시키는 함수 $\cdot : X \times M \to X$ 이다.

(모노이드 항등원은 항등 함수) 임의의 $x \in X$ 에 대하여, $x \cdot 1_{M} = x$ . 여기서 $1_{M} \in M$ 은 $M$ 의 항등원이다.
(모노이드 연산은 함수의 합성) 임의의 $m, n \in M$ 및 $x \in X$ 에 대하여, $x \cdot (m n) = (x \cdot m) \cdot n$

모노이드 $M$ 의 작용을 갖춘 두 집합 $X$ , $Y$ 이 주어졌다고 하자. 그 사이의 등변 함수 $f : X \to Y$ 는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

\forall x \in X, m \in M : m \cdot f (x) = f (m \cdot x)

여기서 좌변은 $Y$ 위의 작용이고, 우변은 $X$ 위의 작용이다. 즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.

\begin{matrix} M \times X & \to & X \\ M \times f ↓ & ↓ f \\ M \times Y & \to & Y \end{matrix}

준동형을 통한 정의

추상적으로, 모노이드 $M$ 의, 집합 $X$ 위의 왼쪽 작용은 $M$ 에서 $X$ 위의 자기 함수들의 모노이드 $End X$ 로 가는 모노이드 준동형

ϕ : M \to End X

이며, $M$ 의 $X$ 위의 오른쪽 작용은 반대 모노이드 $M^{op}$ 에서 $End X$ 로 가는 모노이드 준동형

M^{op} \to End X

이다. 만약 $G$ 가 군일 경우, 왼쪽 작용은 $X$ 의 대칭군 (=자기 동형군) $Sym X$ 으로 가는 군 준동형

G \to Sym X

을 이루며, 오른쪽 작용은 반대군에서의 군 준동형

G^{op} \to Sym X

을 이룬다.

모노이드 $M$ 의 작용을 갖춘 두 집합

ϕ_{X} : M \to End X

ϕ_{Y} : M \to End Y

이 주어졌다고 하자. 그 사이의 등변 함수 $f : X \to Y$ 는 다음 그림을 가환하게 만드는 함수 $f : X \to Y$ 이다.

\begin{matrix} M & \overset{ϕ_{X}}{\to} & End X \\ ϕ_{Y} ↓ & ↓ f \circ \\ End Y & \to_{\circ f}^{} & hom (X, Y) \end{matrix}

범주론적 정의

범주론적으로, $M$ 의 작용은 $M$ 을 하나의 대상을 갖는 작은 범주로 간주하였을 때, 함자

F : M \to Set

와 동치이다. 이 경우, $M$ 이 작용하는 집합은 범주 $M$ 의 유일한 대상 $∙_{M}$ 의 $F$ 에 대한 상 $F (∙_{M}) \in Set$ 이며, $m \in M$ 의 작용은 $F$ 에 대한 상 $F (m) : F (∙_{M}) \to F (∙_{M})$ 이다.

두 $M$ -집합

F : M \to Set

G : M \to Set

사이의 등변 함수 $F \Rightarrow G$ 는 두 함자 사이의 자연 변환과 동치이다. 구체적으로, 자연 변환 $η : F \Rightarrow G$ 에 대응하는 등변 함수는 $η$ 의 성분

η_{∙_{M}} : F (∙_{M}) \to G (∙_{M})

이다.

따라서, $M$ -집합의 범주 ${Set}^{M}$ 은 사실 (작은 범주로 간주한) $M$ 에서 $Set$ 로 가는 함자 범주와 동치이다.

궤도와 안정자군

군 $G$ 가 집합 $X$ 에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. $x \in X$ 의 궤도(軌道, 영어: orbit) $G \cdot x$ 는 다음과 같다.

G \cdot x = {g \cdot x : g \in G}

궤도는 $G$ 위의 동치 관계

x \sim y ⟺ \exists g \in G : g \cdot x = y

의 동치류와 같으며, $X$ 는 궤도들로 분할된다.

임의의 $x \in X$ 의 안정자군(安定子群, 영어: stabilizer subgroup) $G_{x}$ 는 다음과 같다.

G_{x} = {g \in G : g \cdot x = x}

즉, 안정자군 $G_{x}$ 는 $G$ 의 원소 중 $x$ 를 고정점으로 가지는 모든 원소들의 집합이다.

작용 준군

모노이드 $M$ 이 집합 $X$ 위에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 작은 범주 $𝒞$ 를 정의할 수 있다.

$𝒞$ 의 대상은 $X$ 의 원소이다.
$x, y \in X$ 에 대하여, ${hom}_{𝒞} (x, y) = {m \in M : m x = y}$ 이다.
$x \in X$ 위의 항등 사상은 $1_{M} \in {hom}_{𝒞} (x, x)$ 이다.

이를 작용 범주(作用範疇, 영어: action category, translation category)라고 한다.^[1]^{:315, 3.3.1} 만약 $M$ 이 군이라면, $X$ 위의 작용 범주는 준군을 이룬다. 이를 작용 준군(作用準群, 영어: action groupoid, translation groupoid)이라고 한다.

작용 범주는 모노이드 작용의 모든 정보를 담고 있다. 즉, 작용 범주를 알면 모노이드 작용을 재구성할 수 있다.

성질

군의 왼쪽 작용 $\cdot : G \times X \to X$ 이 주어졌을 때,

$g \in G$ 에 대하여 $g \cdot : X \to X$ 는 전단사 함수이다.
(역원은 역함수) $g \in G$ 에 대하여 $g^{- 1} \cdot = (g \cdot)^{- 1}$ 이다. 여기서 $(g \cdot)^{- 1}$ 는 전단사 함수의 역함수이다.

왼쪽 작용과 오른쪽 작용의 관계

임의의 모노이드 $M$ 에 대하여, 왼쪽 $M$ -작용은 오른쪽 $M^{op}$ -작용과 같다. 여기서 $M^{op}$ 은 $M$ 의 반대 모노이드이다. 특히, 가환 모노이드는 스스로의 반대 모노이드와 표준적으로 동형이므로, 가환 모노이드의 경우 왼쪽 작용과 오른쪽 작용을 구별할 필요가 없다.

모든 군 $G$ 는 그 반대군과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이다. 즉, 군의 동형

^{- 1} : G \to G^{op}

이 존재한다. 따라서, 이를 사용하여 임의의 오른쪽 $G$ -작용을 왼쪽 $G$ -작용으로 쓸 수 있다. 임의의 오른쪽 $G$ -작용 $r : X \times G \to X$ 에 대하여,

ℓ : G \times X \to X

ℓ (g, x) = r (x, g^{- 1})

로 정의한다면, $ℓ$ 은 왼쪽 $G$ -작용을 이룬다. 마찬가지로 왼쪽 $G$ -작용 $ℓ : G \times X \to X$ 가 주어졌을 때

r : X \times G \to X

r (x, g) = ℓ (g^{- 1}, x)

는 오른쪽 $G$ -작용을 이룬다. 따라서, 군의 왼쪽 작용의 개념과 오른쪽 작용의 개념은 서로 동치이며, 필요에 따라 서로 변환할 수 있다. (그러나 이는 모노이드 작용에 대하여 성립하지 않는다.)

궤도-안정자군 정리

안정자군 $G_{x}$ 는 G의 부분군이므로 그 왼쪽 잉여류를 생각할 수 있다. 궤도-안정자군 정리(軌道-安定子群定理, 영어: orbit–stabilizer theorem)에 따르면, 다음 두 명제가 성립한다.

$G \cdot x$ 의 원소 $g \cdot x$ 를 왼쪽 잉여류 $g G_{x}$ 로 보내는 함수는 잘 정의된다. 즉, 임의의 $g, h \in G$ 에 대하여, $g \cdot x = h \cdot x$ 라면 $g G_{x} = h G_{x}$ 이다.
이 함수는 전단사 함수이다. 즉, 임의의 $g, h \in G$ 에 대하여, $g G_{x} = h G_{x}$ 라면 $g \cdot x = h \cdot x$ 이다.

특히, 만약 $G$ 가 유한군이면, 라그랑주 정리에 의해 다음이 성립한다.

| G \cdot x | = [G : G_{x}] = | G | / | G_{x} |

보편대수학적 성질

모노이드 $M$ 에 대하여, $M$ -집합은 $M$ 의 각 원소 $m \in M$ 에 대하여 1항 연산 $m \cdot$ 을 가지며, 대수적 관계

1 \cdot x = x \forall x \in X

m \cdot (n \cdot x) = (m n) \cdot x \forall x \in X

를 만족시키는 대수 구조이다. 이 관계들은 모두 대수적이므로, $M$ -집합들은 대수 구조 다양체를 이룬다.

집합 $X$ 위의 자유 $M$ -집합은 곱집합 $M \times X$ 이며, 그 위의 작용은

m \cdot (n, x) = (m n, x)

이다.

범주론적 성질

모노이드 $M$ 에 대하여, $M$ -집합의 범주 ${Set}^{M}$ 은 (작은 범주에서 집합의 범주로 가는 함자 범주이므로) 그로텐디크 토포스를 이룬다.^[2] 특히, 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다.

${Set}^{M}$ 의 시작 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 공집합이다. ${Set}^{M}$ 의 끝 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 한원소 집합이다. ${Set}^{M}$ 의 ${Set}^{M}$ 의 부분 대상 분류자 $R_{M}$ 은 $M$ 위의 오른쪽 모노이드 아이디얼들의 집합

R_{M} = {I \subseteq M : I M \subseteq I}

이다.^[2] 이 위의 $M$ 의 (왼쪽) 작용은 다음과 같다.

M \times R_{M} \to R_{M}

(m, I) \mapsto m I

망각 함자

U : {Set}^{M} \to Set

가 존재한다. 이는 왼쪽 수반 함자 $F$ 와 오른쪽 수반 함자 $G$ 를 갖는다.^[2]

F ⊣ U ⊣ G

왼쪽 수반 함자 $F$ 는 자유 대수 함자이다. 즉, 집합 $X$ 를 $M \times X$ 로 대응시킨다. 오른쪽 수반 함자 $G$ 는 집합 $X$ 를 함수들의 집합 $X^{M}$ 으로 대응시킨다. $M$ 의 $X^{M}$ 위의 작용은 다음과 같다.

(m \cdot f) (n) = f (m n)

종류

군 $G$ 가 집합 $X$ 위에 왼쪽에서 작용한다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 작용의 성질들을 정의할 수 있다.

추이적 작용

군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 n-추이적 작용(n-推移的作用, 영어: n-transitive action)이라 한다.

임의의 서로 다른 원소들 $x_{1}, \dots, x_{n} \in X$ 및 임의의 서로 다른 원소들 $y_{1}, \dots, y_{n} \in X$ 에 대하여, $g \cdot x_{k} = y_{k}$ ( $\forall k \in {1, \dots, n}$ )인 $g \in G$ 가 존재한다.

만약 여기서 이러한 $g$ 가 유일하다면, 이를 n-정추이적 작용(n-正推移的作用, 영어: sharply n-transitive action)이라 한다. 즉, 군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 n-정추이적 작용이라고 한다.

임의의 서로 다른 원소들 $x_{1}, \dots, x_{n} \in X$ 및 임의의 서로 다른 원소들 $y_{1}, \dots, y_{n} \in X$ 에 대하여, $g \cdot x_{k} = y_{k}$ ( $\forall k \in {1, \dots, n}$ )인 유일한 $g \in G$ 가 존재한다.

1-추이적 작용은 단순히 추이적 작용(推移的作用, 영어: transitive action)이라 한다. 1-정추이적 작용은 단순히 정추이적 작용(正推移的作用, 영어: sharply transitive action) 또는 정칙 작용(正則作用, 영어: regular action)이라고 한다. 이는 자유 추이적 작용과 동치이며, 아벨 군의 작용의 경우 이는 충실한 추이적 작용과 동치이다.

충실한 작용과 자유 작용

군의 작용에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 충실한 작용(忠實-作用, 영어: faithful action) 또는 효과적 작용(效果的作用, 영어: effective action)이라고 한다.

임의의 $g, h \in G$ 에 대하여, 만약 임의의 $x \in X$ 에 대하여 $g \cdot x = h \cdot x$ 라면, $g = h$
임의의 $g \in G$ 에 대하여, 만약 임의의 $x \in X$ 에 대하여 $g \cdot x = x$ 라면, $g = 1_{G}$
단사 군 준동형이다.

군의 작용에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 자유 작용(自由作用, 영어: free action) 또는 반정칙 작용(半正則作用, 영어: semiregular action)이라고 한다.

임의의 $g, h \in G$ 에 대하여, 만약 $g \cdot x = h \cdot x$ 인 $x \in X$ 가 존재한다면, $g = h$
임의의 $g, h \in G$ 에 대하여, 만약 $g \cdot x = x$ 인 $x \in X$ 가 존재한다면, $g = 1_{G}$

같이 보기

참고 문헌

↑ Weibel, Charles A. (2013년 5월 18일). 《The K-book: an introduction to algebraic K-theory》 (영어). Graduate Studies in Mathematics 145. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-9132-2. Zbl 1273.19001.
↑ ^가 ^나 ^다 Ebrahimi, M. Mehdi; Mahmoudi, M. (2001). “The category of M-sets” (PDF) (영어). 《Italian Journal of Pure and Applied Mathematics》 9: 123-132. ISSN 1126-8042.

외부 링크

“Group action” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Action of a group on a manifold” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Stabilizer” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Transitive group” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Orbit” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Group action” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Transitive group action” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Faithful group action” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Group orbit” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Stabilizer” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “G-set” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Group set” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“G-set” (영어). 《nLab》.
“Action” (영어). 《nLab》.
“Action groupoid” (영어). 《nLab》.
Gowers, Timothy (2011년 11월 6일). “Group actions I” (영어). 《Gowers's Weblog》.
Gowers, Timothy (2011년 11월 9일). “Group actions II: the orbit-stabilizer theorem” (영어). 《Gowers's Weblog》.

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[1] Weibel, Charles A. (2013년 5월 18일). 《The K-book: an introduction to algebraic K-theory》 (영어). Graduate Studies in Mathematics 145. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-9132-2. Zbl 1273.19001.

[EM-2] 가 ^나 ^다 Ebrahimi, M. Mehdi; Mahmoudi, M. (2001). “The category of M-sets” (PDF) (영어). 《Italian Journal of Pure and Applied Mathematics》 9: 123-132. ISSN 1126-8042.

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