오일러의 네 제곱수 항등식

오일러의 네 제곱수 항등식(Euler's four-square identity, -數恒等式)은 스위스의 수학자인 레온하르트 오일러가 제출한 항등식이다. 이하와 같은 구조를 갖고 있다:

(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + b_{4}^{2}) =

(a_{1} b_{1} - a_{2} b_{2} - a_{3} b_{3} - a_{4} b_{4})^{2} +

(a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} + a_{3} b_{4} - a_{4} b_{3})^{2} +

(a_{1} b_{3} - a_{2} b_{4} + a_{3} b_{1} + a_{4} b_{2})^{2} +

(a_{1} b_{4} + a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} + a_{4} b_{1})^{2}

이 항등식은 두 제곱수의 경우에 관찰할 수 있는 단순한 항등식(브라마굽타-피보나치 항등식)인

(a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2}) = (a_{1} b_{1} - a_{2} b_{2})^{2} + (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1})^{2}

을 일반화한 결과이다. 오일러가 이 항등식을 처음으로 쓴 것은 크리스티안 골트바흐에게 보내는 1748년 5월 4일의 편지에서였다.^[1]^[2] 이 항등식은 단순한 식의 전개만으로 증명할 수 있어 일반적인 복소수체 위에서뿐 아니라 모든 가환환 상에서 성립하며, 주로 라그랑주 네 제곱수 정리 등을 증명하는 데 이용한다. 또, 이 항등식은 그 자체로 사원수 a, b의 노름에 대해 $‖ a b ‖ = ‖ a ‖ ‖ b ‖$ 가 성립함을 의미하기도 한다. 보다 일반화된 형태로는 데겐의 여덟 제곱수 항등식이 있다.

같이 보기

각주

↑ Leonhard Euler: Life, Work and Legacy, R.E. Bradley and C.E. Sandifer (eds), Elsevier, 2007, p. 193
↑ Mathematical Evolutions, A. Shenitzer and J. Stillwell (eds), Math. Assoc. America, 2002, p. 174

[1] Leonhard Euler: Life, Work and Legacy, R.E. Bradley and C.E. Sandifer (eds), Elsevier, 2007, p. 193

[2] Mathematical Evolutions, A. Shenitzer and J. Stillwell (eds), Math. Assoc. America, 2002, p. 174

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