오차

오차(誤差, 영어: error)란 참값과 근삿값의 차이로, 근삿값에서 참값을 뺀 값이다. 예를 들어 참값 $\pi$(원주율)을 근삿값 3.14에서 뺀 값, $3.14-\pi$는 오차이다. 오차는 양숫값, 0, 음숫값을 모두 가질 수 있다. 그리고 오차의 절댓값이 작을수록 근삿값은 참값에 가깝다.

모든 측정이나 관측에는 오차가 포함되어 있다.

오차의 표현 방법

백분율 오차(상대오차)

실험 결과로 나온 값과, 이론적으로 도출된 값을 이용하여 백분율 오차로 표현할 수 있다.

$\delta =100\mathrm{\%}\times \eta =100\mathrm{\%}\times \left|\frac{v-v_{\text{approx}}}{v}\right|.$

발생 원인에 따른 오차의 종류

오차에는 착오, 정오차, 우연오차가 있다. 어떤 것은 오차가 발생하는 크기와 방향이 일정하여 발생 원인을 알 수 있지만, 어떤 것은 크기나 원인을 알 수 없고 불규칙적으로 발생한다.

착오

착오(錯誤, Mistake, Blunder or Gross error) 또는 과대오차(誇大誤差)란 관측자의 부주의 또는 실수로 인해 발생한 오차를 말한다. 예를 들어 관측자가 눈금을 잘못 읽거나, 다른 측점을 착각하고 관측했을 때 착오가 발생한다. 착오는 오차론으로 소거할 수 없으므로, 측량 과정에 주의를 기울이고 반복 확인하여 사전에 방지하도록 노력해야 한다. 착오가 생겼을 경우 해당 관측값이 사용되기 전에 반드시 소거해야 한다.

정오차

정오차(定誤差, Constant Error) 또는 계통오차(系統誤差, Systematic Error)란 오차의 발생 원인이 분명하고 오차의 발생 방향과 크기가 일정하여 수식에 의해 보정이 가능한 오차를 말한다. 예를 들어 줄자로 거리를 잴 때, 줄자가 온도나 장력 등에 의하여 길이가 변화했을 경우 정오차가 발생한다. 정오차는 기계오차, 자연오차, 개인오차로 세분할 수 있다.

우연오차

우연오차(偶然誤差, Random error) 또는 우차(偶差)란 착오를 제거하고 정오차를 보정하고 나서도 남아있는 오차를 말한다. 오차의 원인을 알 수 없거나, 알더라도 측정 당시의 순간적인 변화로 인해 수식으로 보정할 수 없는 오차이다. 우연오차는 확률에 의하여 통계적으로 처리한다. 우연오차는 크기와 방향이 일정하지 않아 서로 상쇄되는 경우도 있어서 상차(償差, Compensating error)라고도 한다. 우연오차의 성질로는 다음과 같은 것들이 있다.

• 큰 오차가 발생할 확률은 작은 오차가 발생할 확률보다 매우 작다.
• 같은 크기의 양(+)의 오차가 발생할 확률은 같은 크기의 음(-)의 오차가 발생할 확률과 같다.
• 극단적으로 큰 오차는 거의 발생하지 않는다.

오차의 전파

측정값을 가지고 계산을 하는 경우, 측정값에 포함되어 있는 오차가 계산값에도 포함되게 되는데 이를 오차의 전파(error propagation)라고 한다.

정오차의 전파

일차인 선형 함수 $y=f(x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n)$에 대하여, $x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n$의 오차를 $d{x}_1,d{x}_2,d{x}_3,\cdots ,d{x}_n$이라고 하자. 이때 y에 전파되는 정오차 dy는 다음과 같이 구한다.

$dy=\frac{\partial y}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial y}{\partial x_2}d{x}_2+\frac{\partial y}{\partial x_3}d{x}_3+\cdots +\frac{\partial y}{\partial x_n}d{x}_n$

이차 이상의 비선형 함수에 대해서는 테일러 급수 전개를 통한 선형화가 필요하다.

우연오차의 전파

관측값 $x$가 서로 독립일 때, 함수 $y=f(x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n)$에 대하여, $x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n$의 오차를 ${\sigma }_{x_1},{\sigma }_{x_2},{\sigma }_{x_3},\cdots ,{\sigma }_{x_n}$이라고 하자. 이때 $y$에 전파되는 우연오차 ${\sigma }_y$는 다음과 같다.

${{\sigma }_y}^2={\left(\frac{\partial y}{\partial x_1}\right)}^2{{\sigma }_{x_1}}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial x_2}\right)}^2{{\sigma }_{x_2}}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial x_3}\right)}^2{{\sigma }_{x_3}}^2+\cdots +{\left(\frac{\partial y}{\partial x_n}\right)}^2{{\sigma }_{x_n}}^2$

같이 보기

• 정확도와 정밀도

참고 문헌

• 이재기; 최석근; 박경식; 정성혁 (2013). 《측량학1》 2판. 형설출판사.