완비 국소환

가환대수학에서 완비 국소환(完備局所環, 영어: complete local ring)은 극대 아이디얼에서 스스로의 완비화와 같은 국소 가환환이다.^[1]

정의

국소 가환환 $(R, 𝔪, κ)$ 이 주어졌다고 하자. 이 경우 극대 아이디얼 $𝔪$ 의 거듭제곱에 대한 몫환

\dots \to R / 𝔪^{3} \to R / 𝔪^{2} \to R / 𝔪 = κ

을 취할 수 있으며, 이에 대한 완비화

\hat{R} = \underset{n \to \infty}{\lim_{\leftarrow}} \frac{R}{𝔪^{n}}

를 취할 수 있으며, 환 준동형

ϕ_{n} : R \to R / 𝔪^{n}

으로부터 표준적인 환 준동형

ϕ_{\infty} : R \to \hat{R}

이 존재한다. 만약 이 준동형이 전단사 함수라면(즉, 환의 동형 사상이라면), $R$ 를 완비 국소환이라고 한다. 이는 위상환을 이룬다.

보다 구체적으로, 다음 두 조건이 성립해야 한다.

(하우스도르프 조건) $⋂_{n = 0}^{\infty} 𝔪^{n} = 0$
(완비성) 임의의 원소열 $r_{0}, r_{1}, r_{2}, \dots \in R$ 에 대하여, 만약 $r_{i} - r_{i - 1} \in 𝔪^{i}$ 라면, 충분히 큰 $i$ 에 대하여 $r = r_{i} = r_{i + 1} = r_{i + 2} = \dots$ 가 되는 $r \in R$ 가 존재한다.

성질

함의 관계

모든 완비 국소환은 헨젤 환이다.

모든 아르틴 국소 가환환은 (자명하게) 뇌터 완비 국소 가환환이다. 이 경우 충분히 큰 $n$ 에 대하여 $𝔪^{n} = 0$ 이다.

모든 뇌터 완비 가환환은 탁월한 가환환이다.

매틀리스 쌍대성

$(R, 𝔪, κ)$ 가 뇌터 완비 국소환이며, $E$ 가 $κ$ 의 단사 껍질이라고 하자. 그렇다면, $R$ 위의 뇌터 가군의 범주 ${NoetMod}_{R}$ 의 반대 범주와 아르틴 가군의 범주 ${ArtMod}_{R}$ 사이에 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.

D : {NoetMod}_{R}^{op} \to {ArtMod}_{R}

D : M \mapsto {hom}_{R} (M, E)

D^{- 1} : M \mapsto {hom}_{R} (M, E)

이를 매틀리스 쌍대성(영어: Matlis duality)이라고 한다.

특히, 뇌터 가군이자 아르틴 가군인 가군(즉, 길이가 유한한 가군)의 범주는 스스로의 반대 범주와 동치이다.

국소화 함자

임의의 국소 가환환 $(R, 𝔪, κ)$ 에 대하여, 완비화를 통해 완비 국소환

\hat{R} = \underset{n \to \infty}{\lim_{\leftarrow}} \frac{R}{𝔪^{n}}

을 정의할 수 있다. 이는 국소환과 국소 준동형의 범주에서 완비 국소환과 국소 준동형의 범주로 가는 함자

\hat{} : LocCRing \to compLocCRing

를 정의한다.

이 함자 아래, $\hat{R}$ 의 극대 아이디얼은

\hat{𝔪} = {(r_{1} + 𝔪, r_{2} + 𝔪^{2}, \dots) \in \hat{R} : r_{1} + 𝔪 = 𝔪}

이다. 그 잉여류체는 원래 국소환의 잉여류체와 표준적으로 같다.

R / 𝔪 ≅ \hat{R} / \hat{𝔪}

이 함자 아래, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$R$ 가 뇌터 국소 가환환이다.
$\hat{R}$ 가 뇌터 완비 국소환이다.

분류

코언 구조 정리(영어: Cohen structure theorem)에 따르면, 모든 뇌터 완비 국소환은 어떤 완비 정칙 국소환의 몫환으로 표현될 수 있다.

모든 완비 정칙 국소환은 완전히 분류되었다. 구체적으로, 완비 정칙 국소환의 목록은 다음과 같다.

어떤 자연수 n∈ℕ 및 체 K에 대하여, 형식적 멱급수환 K[[x1,x2,…,xn]]
- 이 경우, 크룰 차원은 $n$ 이다.
어떤 자연수 n∈ℕ 및 p-코언 환 K에 대하여, 형식적 멱급수환 K[[x1,x2,…,xn]]
- 이 경우, 크룰 차원은 $n + 1$ 이다.
어떤 자연수 n∈ℕ 및 p-코언 환 K에 대하여, 형식적 멱급수환의 몫 K[[x1,x2,…,xn]]/(p−x). 여기서 x∈𝔪2∖(p)이며, 𝔪=(p,x1,x2,…,xn)은 K[[x1,…,xn]]의 유일한 극대 아이디얼이다.
- 이 경우, 크룰 차원은 $n$ 이다.

여기서, 소수 $p$ 에 대하여, $p$ -코언 환(영어: Cohen ring)은 완비 이산 값매김환 $(D, 𝔪, κ)$ 가운데, $char D = 0$ 이며 $char κ = p$ 이며 $𝔪 = (p)$ 인 것이다. 예를 들어, $p$ 진 정수환 $ℤ_{p}$ 는 코언 환이다.

예

체 $K$ 에 대하여 형식적 멱급수환

K [[x]]

은 완비 국소환이다. 또한, 소수 $p$ 에 대하여 $p$ 진 정수환 $ℤ_{p}$ 는 완비 국소환이다.

완비 국소환이 아닌 환

$p$ 진수체 $ℚ_{p}$ 의 대수적 폐포의 완비화 $ℂ_{p}$ 를 생각하자. 이 역시 대수적으로 닫힌 체이다. 이에 대응하는 값매김환(즉, $ℂ_{p}$ 에서 $p$ 진 값매김이 음이 아닌 정수인 원소로 구성된 부분환)의 극대 아이디얼 $𝔪$ 은

0 \neq 𝔪 = 𝔪^{2} = 𝔪^{3} = \dots

을 만족시킨다. 따라서 이는 하우스도르프 조건을 만족시키지 못해 완비 가환환을 이루지 못한다.

역사

코언 구조 정리는 1946년에 어빈 솔 코언이 증명하였다.^[2]

각주

↑ Wehrfritz, Bertram A. F. 《Lectures around complete local rings》 (영어).
↑ Cohen, Irvin Sol (1946). “On the structure and ideal theory of complete local rings” (영어). 《Transactions of the American Mathematical Society》 59: 54–106. doi:10.2307/1990313. ISSN 0002-9947. JSTOR 1990313. MR 0016094.

외부 링크

“Example of a non-Noetherian complete local ring” (영어). 《Stack Exchange》.
Hochster, Melvin. “The structure theory of complete local rings” (PDF) (영어).
“Complete local ring” (영어). 《Commalg》.

[1] Wehrfritz, Bertram A. F. 《Lectures around complete local rings》 (영어).

[2] Cohen, Irvin Sol (1946). “On the structure and ideal theory of complete local rings” (영어). 《Transactions of the American Mathematical Society》 59: 54–106. doi:10.2307/1990313. ISSN 0002-9947. JSTOR 1990313. MR 0016094.

[1]

[2]