요네다 보조정리

범주론에서 요네다 보조정리([米田]補助定理, 영어: Yoneda lemma)는 특정한 범주를 집합 값의 함자 범주에 묻는 함자를 만들 수 있게 하는 보조정리다. 군론의 케일리의 정리를 크게 일반화한 것이다. 대수기하학과 표현론에서 중요하게 쓰인다.

보조정리

$𝒞$가 국소적으로 작은 범주(임의의 두 대상 사이의 사상들의 모임이 항상 집합인 범주)라고 하자. 각 대상 $A\in 𝒞$에 대해, 다음과 같은 함자가 존재한다 ($\mathrm{Set}$는 집합의 범주).

$\mathrm{hom}(A,-):𝒞\to \mathrm{Set}$

$\mathrm{hom}(A,-):B\mapsto \mathrm{hom}(A,B)$

이 함자에서, 사상 $f:B\to C$의 상은 다음과 같다.

$\mathrm{hom}(A,f):\mathrm{hom}(A,B)\to \mathrm{hom}(A,C)$

$\mathrm{hom}(A,f):g\mapsto f\circ g$

마찬가지로, 다음과 같은 함자가 존재한다 (${}^{\mathrm{op}}$는 반대 범주).

$\mathrm{hom}(-,A):{𝒞}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Set}$

$\mathrm{hom}(-,A):B\mapsto \mathrm{hom}(B,A)$

$\mathrm{hom}(f,A):\mathrm{hom}(C,A)\to \mathrm{hom}(B,A)(f:B\to C)$

$\mathrm{hom}(f,A):g\mapsto g\circ f$

그리고 함자 $F:𝒞\to \mathrm{Set}$가 주어졌다고 하자. 요네다 보조정리에 따르면, 모든 대상 $A\in 𝒞$에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 일대일 대응한다.

$\mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(A,-),F)\cong F(A)$

이 때,

• $\mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(A,-),F)$은 모든 자연 변환 $\Phi :\mathrm{hom}(A,-)\Rightarrow F$들의 집합이다.
• $F(A)\in \mathrm{Set}$는 $A$의 상이다.

위의 일대일 대응은 구체적으로 다음과 같다.

$\Phi \mapsto {\Phi }_A({\mathrm{id}}_A)\in F(A)$

이를 표준적으로 만드는 두 함자는 다음과 같다 (${\mathrm{Set}}^{𝒞}$는 함자 $𝒞\to \mathrm{Set}$와 자연 변환의 범주).^:61

$\mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(-,-),-):𝒞\times {\mathrm{Set}}^{𝒞}\to \mathrm{Set}$

$\mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(-,-),-):(A,F)\mapsto \mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(A,-),F)$

$-(-):𝒞\times {\mathrm{Set}}^{𝒞}\to \mathrm{Set}$

$-(-):(A,F)\mapsto F(A)$

즉, 위 일대일 대응들은 이 두 함자 사이의 자연 동형을 이룬다. 첫 번째 함자에서, 사상 $(f:A\to B,\Phi :F\Rightarrow G)$의 상은 다음과 같다.

$\mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(f,-),\Phi ):\mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(A,-),F)\to \mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(B,-),G)$

$\mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(f,-),\Phi )=\mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(B,-),\Phi )\circ \mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(f,-),F)=\mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(f,-),G)\circ \mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(A,-),\Phi )$

$\mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(f,-),\Phi ):\Psi \mapsto \Phi \circ \Psi \circ \mathrm{hom}(f,-)$

두 번째 함자에서, 사상 $(f:A\to B,\Phi :F\Rightarrow G)$의 상은 다음과 같다.

${\Phi }_f:F(A)\to G(B)(f:A\to B,\Phi :F\Rightarrow G)$

${\Phi }_f={\Phi }_B\circ F(f)=G(f)\circ {\Phi }_A$

마찬가지로, 모든 함자 $F:{𝒞}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Set}$ 및 대상 $A\in 𝒞$에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 일대일 대응한다.

$\mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(-,A),F)\cong F(A)$

이 때

• $\mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(-,A),F)$는 자연 변환 $\Phi :\mathrm{hom}(-,A)\Rightarrow F$들의 집합이다.
• $F(A)$는 $A$의 상이다.

이 일대일 대응

$\Phi \mapsto {\Phi }_A({\mathrm{id}}_A)\in F(A)$

들은 함자

$\mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(-,-),-{)}^{\prime }:{𝒞}^{\mathrm{op}}\times {\mathrm{Set}}^{{𝒞}^{\mathrm{op}}}\to \mathrm{Set}$

$\mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(-,-),-{)}^{\prime }:(A,F)\mapsto \mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(-,A),F)$

$\mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(-,f),\Phi ):\mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(-,B),F)\to \mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(-,A),G)(f:A\to B,\Phi :F\Rightarrow G)$

$\mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(-,f),\Phi )=\mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(-,A),\Phi )\circ \mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(-,f),F)=\mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(-,f),G)\circ \mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(B,-),\Phi )$

$\mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(-,f),\Phi ):\Psi \mapsto \Phi \circ \Psi \circ \mathrm{hom}(-,f)$

와

$-(-{)}^{\prime }:{𝒞}^{\mathrm{op}}\times {\mathrm{Set}}^{{𝒞}^{\mathrm{op}}}\to \mathrm{Set}$

$-(-{)}^{\prime }:(A,F)\mapsto F(A)$

${\Phi }_f:F(B)\to G(A)(f:A\to B,\Phi :F\Rightarrow G)$

${\Phi }_f={\Phi }_A\circ F(f)=G(f)\circ {\Phi }_B$

사이의 자연 동형을 이룬다.

증명

쌍대성에 따라, 함자 $F$가 $𝒞\to \mathrm{Set}$인 경우를 증명하면 충분하다. ($F:{𝒞}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Set}$의 경우, $𝒞$를 그 반대 범주로 대체한다.)

임의의 자연 변환 $\Phi :\mathrm{hom}(A,-)\Rightarrow F$에 대해 ${\Phi }_A({\mathrm{id}}_A)$를 생각할 수 있다. ${\Phi }_A$는 $A\to A$ 함자를 $F(A)$의 원소로 옮겨야 하고, ${\mathrm{id}}_A:A\to A$이므로, ${\Phi }_A({\mathrm{id}}_A)\in F(A)$임을 알 수 있다.

이제, 모든 $u\in F(A)$에 대해 ${\Phi }_A({\mathrm{id}}_A)=u$인 유일한 자연 변환 $\Phi$를 대응할 수 있다는 것만 증명하면 된다. 이는 다음과 같은 가환 그림과 그림 쫓기(영어: diagram chasing)를 사용하여 증명할 수 있다.

파일:YonedaLemma-02.png

자연 변환

${\Phi }_X(f)=(Ff)u$

은 자명하게 ${\Phi }_A({\mathrm{id}}_A)=u$를 만족한다. 반대로, 자연 변환의 정의에 따라 위 가환이 성립하므로, ${\Phi }_A({\mathrm{id}}_A)=u$를 만족하는 자연 변환은 위 자연 변환밖에 없다. 다시 말해, $u\in F(A)$의 선택에 따라 자연 변환이 결정되므로 증명이 완성된다.

요네다 매장

국소적으로 작은 범주 $𝒞$가 주어졌다고 하자. 요네다 보조정리에 대상 $A\in 𝒞$와 함자 $F=\mathrm{hom}(-,B):{𝒞}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Set}$를 대입하면 다음 전단사 함수를 얻는다.

$\mathrm{hom}(A,B)\cong \mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(-,A),\mathrm{hom}(-,B))$

$f\mapsto \mathrm{hom}(-,f)$

사실, 이는 함자 범주 ${\mathrm{Set}}^{{𝒞}^{\mathrm{op}}}$로 가는 함자

$\mathrm{hom}(-,-):𝒞\to {\mathrm{Set}}^{{𝒞}^{\mathrm{op}}}$

$\mathrm{hom}(-,-):A\mapsto \mathrm{hom}(-,A)$

$\mathrm{hom}(-,-):f\mapsto \mathrm{hom}(-,f)$

를 임의의 사상 집합으로 제한한 것이다. 따라서, 이 함자는 충실충만한 함자이다. 다시 말해, 이 함자는 범주 $𝒞$를 그 성질 그대로 ${\mathrm{Set}}^{{𝒞}^{\mathrm{op}}}$ 안에 옮겨놓는 역할을 한다. 이 함자를 요네다 매장([米田]埋藏, 영어: Yoneda embedding)이라고 부른다.

마찬가지로, 요네다 보조정리에 따라, 함수

$\mathrm{hom}(A,B)\cong \mathrm{Nat}(\mathrm{hom}(B,-),\mathrm{hom}(A,-))$

$f\mapsto \mathrm{hom}(f,-)$

는 전단사 함수이며, 다음과 같은 충실충만한 함자가 존재한다.

$\mathrm{hom}(-,-{)}^{\prime }:{𝒞}^{\mathrm{op}}\to {\mathrm{Set}}^{𝒞}$

$\mathrm{hom}(-,-{)}^{\prime }:A\mapsto \mathrm{hom}(A,-)$

$\mathrm{hom}(-,-{)}^{\prime }:f\mapsto \mathrm{hom}(f,-)$

역사

일본의 수학자 요네다 노부오가 1954년에 발표하였다.

외부 링크

• “Grothendieck functor” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Representable functor” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Yoneda lemma” (영어). 《nLab》. 
• “Yoneda embedding” (영어). 《nLab》. 
• “Representable functor” (영어). 《nLab》. 
• “Enriched Yoneda lemma” (영어). 《nLab》. 

같이 보기

• 표현 가능 함자