유리 다양체

대수기하학에서 유리 다양체(有理多樣體, 영어: rational variety)는 사영 공간과 쌍유리 동치인 대수다양체이다.

정의

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 대수다양체를 유리 다양체라고 한다.

$X$ 는 $ℙ_{K}^{\dim X}$ 와 쌍유리 동치이다.
$X$ 의 유리 함수체는 $𝒦 (X) ≅ K (x_{1}, \dots, x_{\dim X})$ 이다. 여기서 $K (x_{1}, \dots, x_{n})$ 은 대수적 유리 함수체이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 대수다양체를 단유리 다양체(單有理多樣體, 영어: unirational variety)라고 한다.

적어도 하나의 $n$ 에 대하여, 우세 유리 사상 $ℙ_{K}^{n} - \to X$ 이 존재한다.
체의 확대 $K (x_{1}, \dots, x_{n}) / 𝒦 (X)$ 가 존재하는 $n$ 이 존재한다.

1차원 유리 다양체는 유리 곡선(有理曲線, rational curve)이라고 하며, 2차원 유리 다양체는 유리 곡면(有理曲面, rational surface)이라고 한다. 유리 곡면은 대수 곡면을 10종으로 분류한 엔리퀘스-고다이라 분류 가운데 가장 단순한 종류이며, 가장 초기에 연구되었다.

성질

모든 유리 다양체는 단유리 다양체이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 다만, 낮은 차원에서는 다음이 성립한다.

모든 단유리 곡선은 유리 곡선이다 (뤼로트 정리 영어: Lüroth’s theorem).
표수 0에서, 모든 단유리 곡면은 유리 곡면이다. 그러나 양의 표수에서는 유리 곡면이 아닌 단유리 곡면이 존재한다 (자리스키 곡면).
3차원 이상에서는 표수에 상관없이 대부분의 단유리 다양체는 유리 다양체가 아니다.

유리성은 체의 확대에 의하여 보존되지 않는다. 대수적 폐포를 취했을 때 유리 다양체가 되는 다양체를 세베리-브라우어 다양체(영어: Severi–Brauer variety)라고 한다.

유리 곡면

카스텔누오보 정리(영어: Castelnuovo’s theorem)에 따르면, (임의의 표수에서) 비정칙도 $q = h^{0, 1}$ 와 2차 다중 ㅎ종수 $P_{2}$ 가 0인 대수 곡면은 유리 곡면이다.

모든 비특이 유리 곡면은 최소 유리 곡면을 부풀리기를 반복해서 얻을 수 있다. 최소 유리 곡면은 사영 평면과 히르체브루흐 곡면 Σ_n, 여기에서 n= 0 또는 n ≥ 2이다.

유리 곡면의 다중 종수는 모두 0이고, 기본군은 자명하다.

복소 유리 곡면의 호지 수는 다음과 같다.

		1
	0		0
0		1+n		0
	0		0
		1

n이 0이면 사영 평면이고, 1이면 히르체브루흐 곡면이며, 다른 유리 곡면은 1보다 크다.

유리 곡면의 피카르 군은 홀(odd) 유니모듈러 격자 I_1,n이며, 예외적으로 히르체부르흐 곡면 Σ_2m은 짝(even) 유니모듈러 격자 II_1,1이다.

예

다음 대수다양체들은 유리 다양체를 이룬다.

3차원 사영 공간 속의 이차 곡면
3차원 사영 공간 속의 삼차 곡면(영어: cubic surface)
사영 공간
델 페초 곡면
베로네세 곡면

참고 문헌

Kollár, János; Karen E. Smith, Alessio Corti (2004). 《Rational and Nearly Rational Varieties》 (영어). Cambridge Studies in Advanced Mathematics 92. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511734991. ISBN 978-052183207-6.

외부 링크

“Rational variety” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Rational surface” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Unirational variety” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Lüroth problem” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Rational variety” (영어). 《nLab》.
“Unirational variety” (영어). 《nLab》.