델 페초 곡면

대수기하학에서 델 페초 곡면(del Pezzo曲面, 영어: del Pezzo surface)은 사영 평면의 점들을 부풀려 얻을 수 있는 대수 곡면의 한 종류다.

정의

대수적으로 닫힌 체 $K$에 대하여, 델 페초 곡면은 다음 두 조건을 만족시키는 $K$-대수다양체 $X$이다.

• 대수 곡면이다. 즉, 크룰 차원이 2차원이다.
• 파노 다양체이다. 즉, 반표준 인자 $-K_X$가 풍부한 인자이며, 완비 대수다양체이다.

분류

델 페초 곡면은 유리 곡면이다. 즉, 사영 평면과 쌍유리 동치이다. 델 페초 곡면 X의 차수(영어: degree) d는 반표준 인자(또는 표준 인자)의 제곱이며, 표준 인자의 자기 교차수와 같다.

$d=(-K_X{)}^2=K_X^2$

모든 델 페초 곡면은 다음 가운데 정확히 하나와 동형이다.

• 사영 평면의 $k$개의 점에서의 부풀리기 ($k=0,1,2,\dots ,8$). 보통 ${\mathrm{dP}}_k$로 쓴다. 이 경우, 차수가 $9-k$이며, 피카르 군은 홀 유니모듈러 격자 ${\mathrm{I}}_{1,k}$이다.
• ${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$. 이 경우 차수가 8이며, 피카르 군은 짝 유니모듈러 격자 ${\mathrm{II}}_{1,1}$이다.

사영 평면에서 9개 이상의 점들을 부풀리면 더 이상 반표준 인자가 풍부하지 않다. 예를 들어, 9개의 점을 부풀리면 반표준 인자의 자기 교차수가 0이다.

성질

델 페초 곡면들의 차수에 따른 목록은 다음과 같다. 아래 표에서, "(−1)-곡선"은 자기 교차수가 $-1$인 유리 곡선이며, 이러한 곡선들의 수는 (OEIS의 수열 A33541)에 수록되어 있다.

기호	차수 $d$	(−1)-곡선의 수	피카르 군	모듈라이 공간의 차원	비고
${\mathrm{dP}}_8$	1	240	${\mathrm{I}}_{1,8}$	8	(−1)-곡선들은 E8의 근계와 대응
${\mathrm{dP}}_7$	2	56	${\mathrm{I}}_{1,7}$	6	분지선이 평면 4차 곡선인, 사영 평면의 2겹 피복 공간
${\mathrm{dP}}_6$	3	27	${\mathrm{I}}_{1,6}$	2	${\mathbb{P}}^3$ 속의 3차 곡면
${\mathrm{dP}}_5$	4	16	${\mathrm{I}}_{1,5}$	2	${\mathbb{P}}^4$ 속의 세그레 곡면 (=두 이차 곡면의 교차)
${\mathrm{dP}}_4$	5	10	${\mathrm{I}}_{1,4}$	0
${\mathrm{dP}}_3$	6	6	${\mathrm{I}}_{1,3}$	1
${\mathrm{dP}}_2$	7	3	${\mathrm{I}}_{1,2}$	1
${\mathrm{dP}}_1$	8	1	${\mathrm{I}}_{1,1}$	0	히르체브루흐 곡면
${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$	8	0	${\mathrm{II}}_{1,1}$	0	두 개의 사영 직선의 곱 (이차 곡면)
${\mathrm{dP}}_0$	9	0	${\mathrm{I}}_{1,0}$	0	사영 평면 ${\mathbb{P}}^2$

(−1)-곡선

델 페초 곡면에서 (−1)-곡선(영어: (−1)-curve)은 자기 교차수가 −1이며, 표준 인자와의 교차수 역시 −1인 (기약) 곡선이다. 이들은 다음과 같다.

$\pi :{\mathrm{dP}}_n\twoheadrightarrow {\mathbb{P}}^2$

에서, ${\mathbb{P}}^2$의 세르 뒤틀림 층 $O(1)$의 당김을 $H={\pi }^{*}O(1)$라고 하고, 부풀리기로 발생하는 예외적 인자들을 $E_1,\dots ,E_n$이라고 하자. 이는 델 페초 곡면의 피카르 군

$\mathrm{Pic}({\mathrm{dP}}_n)={\mathrm{Span}}_{\mathbb{Z}}\{H,E_1,\dots ,E_n\}\cong {\mathbb{Z}}^{n+1}$

의 기저를 이룬다. 이 경우, 교차수는 다음과 같다.

$E_i.E_j=-{\delta }_{ij}$

$E_i.H=0$

$H.H=1$

표준 인자는 다음과 같다.

$K=-3H+\sum _i{E}_i$

인자

$C=aH-\sum _{i=1}^n{b}_i{E}_i$

가 (−1)-곡선을 이루려면, 다음 연립 디오판토스 방정식을 만족시켜야 한다.

$a^2-\sum _{i=1}^n{b}_i^2=-3a+\sum _{i=1}^n{b}_i=-1$

이 디오판토스 방정식의 해는 $n<9$인 경우 다음과 같다.

$a$	0이 아닌 $b_i$	개수	해석
0	−1	$n$	예외 곡선
1	1, 1	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})$	부풀려진 두 점을 지나는 사영 직선
2	1, 1, 1, 1, 1	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{5})$	부풀려진 5개의 점을 지나는 원뿔 곡선
3	2, 1, 1, 1, 1, 1, 1	$7(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{7})$	하나의 2중점을 갖는 3차 유리 곡선. $n=7,8$인 경우에만 가능
4	2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1	56	세 개의 2중점을 갖는 4차 유리 곡선. $n=8$인 경우에만 가능
5	2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1	28	6개의 2중점을 갖는 5차 유리 곡선. $n=8$인 경우에만 가능
6	3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2	8	7개의 2중점과 하나의 3중점을 갖는 6차 유리 곡선. $n=8$인 경우에만 가능

호지 수

델 페초 곡면 ${\mathrm{dP}}_n$은 사영 평면을 $n$번 부풀려 얻은 곡면이다. 따라서, 호지 수 가운데 $h^{1,1}$만이 $n$만큼 증가하고, 나머지 호지 수들은 사영 평면의 호지 수와 같다. 즉, ${\mathrm{dP}}_n$의 호지 수는 다음과 같다.

		1
	0		0
0		1+n		0
	0		0
		1

${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$의 경우 두 사영 직선의 곱이므로 호지 수를 쉽게 계산할 수 있으며, 다음과 같다.

		1
	0		0
0		2		0
	0		0
		1

역사

나폴리의 수학자 파스콸레 델 페초(Pasquale del Pezzo)가 1880년대에 연구하였다.

응용

델 페초 곡면은 이론 물리학에서 다양하게 등장한다. 델 페초 곡면은 거울 대칭의 중요한 예이다. 델 페초 곡면은 또한 자이베르그 이중성에 사용되며, M이론의 신비로운 이중성(영어: mysterious duality)에 등장한다.

각주

• Manin, Yuri Ivanovich (1986). 《Cubic forms》 2판 (영어). North-Holland Mathematical Library 4. North-Holland. ISBN 978-0-444-87823-6. MR 833513. 
• Kollár, János; Smith, Karen E.; Corti, Alessio (2004). 《Rational and nearly rational varieties》 (영어). Cambridge Studies in Advanced Mathematics 92. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511734991. ISBN 978-0-521-83207-6. MR 2062787. 
• Dolgachev, Igor V. (2012). 《Classical algebraic geometry: a modern view》 (PDF) (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139084437. ISBN 978-1-107-01765-8. 2014년 5월 31일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 7월 20일에 확인함. 
• Dolgachev, Igor V. (2008년 1월). “Reflection groups in algebraic geometry” (영어). 《Bulletin of the American Mathematical Society》 45 (1): 1–60. doi:10.1090/S0273-0979-07-01190-1. MR 2358376. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Del Pezzo surface” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Graphs of lines on del Pezzo surfaces” (영어). Math Overflow. 
• “Are genus zero Gromov Witten Invariants on Del-Pezzo surfaces enumerative?” (영어). Math Overflow.