유수 (복소해석학)

유수(留數)란 주로 복소해석학에서 통용되는 개념으로서, 어떤 함수 $f$의 $z_0$을 중심으로 하고 그 정의역 내의 어떤 환영역에 대해 로랑 급수 전개가 주어졌다고 가정할 때 그 주부분의 첫 번째 항, 즉 $b_1$ 항을 일컫는다. 보통 표기할 때 $\mathrm{Res}$라 쓰는데, 이것을 다음과 같이 환영역의 내부에서 임의의 양의 방향 단순 닫힌 경로 $C$에 대한 적분으로 정리할 수 있다:

$\mathrm{Res}(f,z_0)=b_1=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\oint }f(z)dz$

고립특이점과 유수

환영역의 중심인 $z_0$가 고립특이점일 때가 수학적으로 주요한 관심사가 된다. 고립특이점의 정의에 따르면, 세 가지 경우($z_0$가 제거가능, 극, 진성인 경우)가 있는데, 다음과 같은 두 가지 상황에서는 유수 계산이 비교적 쉽다:

1. 만약 $z_0$가 제거가능 특이점이라면, 유수는 정의에 따라 $0$이다.
2. 만약 $z_0$가 위수가 $n$인 극이라면, 함수 $g(z)=(z-z_0{)}^{n}f(z)(z\ne z_0);=b_n(z=z_0)$을 이용하여, 유수는 다음 식으로 결정될 수 있다 : $\mathrm{Res}(f,z_0)=\frac{g^{(n-1)}(z)}{(n-1)!}$

그러나, 만약 $z_0$이 진성특이점이라면, 유수는 각각의 경우마다 달리 계산해야 한다.

무한대에서의 유수

유수의 정의를 확장하여, 무한대의 경우에도 적용시킬 수 있다. 고립특이점이 $n$개 존재하는 함수 $f(z)$의 로랑 급수에 약간의 대수적 조작을 가하여, 이것을 함수 $\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right)$에 관한 로랑 급수와 연관시킬 수 있기 때문이다. 이 함수의 $z=0$에서의 유수에 대하여 모든 고립특이점을 밖에서 감싸는 임의의 단순 닫힌 경로 $C$를 생각하면 다음과 같은 식이 성립한다.

$\mathrm{Res}(\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right),0)=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\oint }f(z)dz$

이 때 경로 $C$ 안쪽에서 역시 모든 고립특이점을 밖에서 감싸는 반지름 $R$인 원을 그릴 수 있다면, 이것은, $\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right)$ 을 $0<|z|<\frac{1}{R}$에서 로랑 급수로 전개했을 때의 $b_1$ 항이라고 할 수 있다. 이것을 무한대에서 $f(z)$의 유수로 정의한다. 이것을 이용하면 유수 정리를,

$\sum _{k=1}^n\mathrm{Res}(f(z),z_k)+\mathrm{Res}(f(z),\mathrm{\infty })=0$

와 같이 간략하게 쓸 수 있다.

같이 보기

• 유수 정리
• 특이점

참고 문헌

• 고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005