아델 환

유체론에서 아델 환(adèle環, 영어: adèle ring)은 유리수체나 다른 대수적 수체의 모든 완비화를 대칭적으로 포함하는 위상환이다. 아델 환의 원소를 아델(영어: adèle)이라고 한다.

정의

정수 아델 환

정수환 $\mathbb{Z}$의 사유한 완비 $\hat{\mathbb{Z}}$는 다음과 같다.

$\hat{\mathbb{Z}}\stackrel{\text{def}}{=}\underleftarrow{\lim }\mathbb{Z}/n=\prod _p{\mathbb{Z}}_p$

여기서 후자 (모든 p진 정수환들의 곱)는 중국인의 나머지 정리에 의한 것이다.

정수 아델 환(영어: ring of integral adèles) ${𝔸}_{\mathbb{Z}}$는 다음과 같다.

${𝔸}_{\mathbb{Z}}=ℝ\times \hat{\mathbb{Z}}$

대역체의 이델 환

대역체 $K$의 아델 환은 다음과 같다.^:357

${𝔸}_K={\prod _v}^{\prime }{K}_v$

여기서 $K_v$는 자리 $v$에 대한 완비화 국소체이며, ${\prod _v}^{\prime }$는 모든 자리에 대한 제약된 곱이다. 여기서 "제약된 곱"이란 다음 조건을 말한다.

$\mathrm{\forall }a\in {𝔸}_K:\{v:v(a_v)>0\}<{\mathrm{\aleph }}_0$

즉, 유한 개의 원소들을 제외한 나머지는 모두 국소체의 대수적 정수환에 속해야 한다.

만약 $K$가 대수적 수체 $K$인 경우, 아델 환은 다음과 같이 정수 아델 환으로 나타낼 수도 있다.

${𝔸}_K=K{\otimes }_{\mathbb{Z}}{𝔸}_{\mathbb{Z}}$

예를 들어, 유리 아델 환은 다음과 같다.

${𝔸}_{\mathbb{Q}}=ℝ\times {\prod _p}^{\prime }{\mathbb{Q}}_p$

여기서 ${\mathbb{Q}}_p$는 p진수체이고, ${\prod }^{\prime }$는 다음과 같이 정의된, 제약된 곱을 의미한다. ${𝔸}_{\mathbb{Q}}$의 원소 $(a_{\mathrm{\infty }},a_2,a_3,a_5,\dots )$ 가운데, 유한개의 원소를 제외한 나머지는 모두 p진 정수이어야 한다.

성질

수체 $K$에 대하여, 아델 환 ${𝔸}_K$의 덧셈군은 국소 콤팩트 위상군이다. 이 아벨 군의 폰트랴긴 쌍대군은 스스로와 동형이다.

이델 군

아델 환 ${𝔸}_K$의 가역원들의 군 ${𝔸}_K^{\times }$를 이델 군(idèle群, 영어: idèle group)이라고 한다.^:357 이 경우, 부분 공간 위상을 주면 곱셈 연산이 연속적이지 않아 위상군이 될 수 없으며, 따라서 대신 다음과 같은 위상을 준다.^:361 우선, 아델 환의 곱집합 $𝔸\times 𝔸$에 곱공간 위상을 주자. 이델 군 ${𝕂}^{\times }$는 그 속에 다음과 같은 부분 집합을 이룬다.

$\iota :{𝔸}_K^{\times }\hookrightarrow {𝔸}_K\times {𝔸}_K$

$\iota :x\mapsto (x,x^{-1})$

이 매장에 대하여 부분 공간 위상을 주면, ${𝔸}_K^{\times }$는 위상군을 이룬다.

대역체 $K$의 이델 군 ${𝔸}_K^{\times }$의 경우, 가역원군 $K^{\times }$로부터 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

$i:K^{\times }\to {𝔸}_K^{\times }$

$i:a\mapsto (a,a,a,\dots )\in {\prod _p}^{\prime }{K}_p^{\times }$

이 준동형의 상을 주 이델(영어: principal idèle)이라고 한다.^{:359, Definition VI.1.2} 이델 군의 주 이델 부분군에 대한 몫군 $C_K$를 이델 유군(idèle類群, 영어: idèle class group)이라고 한다.^{:359, Definition VI.1.2}

성질

이델 군은 국소 콤팩트 위상군을 이룬다.^{:361, Proposition IV.1.5}

유체론에 따라서, 임의의 대역체 $K$에 대하여 다음과 같은 자연스러운 군 준동형이 존재하며, 이를 대역 아르틴 준동형이라고 한다.

$C_K\to \mathrm{Gal}(K^{\mathrm{ab}}/K)$

여기서 $K^{\mathrm{ab}}$는 $K$의 극대 아벨 확대이다. 이를 통하여, 다음과 같은 사유한군의 동형이 존재한다. (여기서 좌변은 이델 유군의 사유한 완비이다.)

${\hat{C}}_K\cong \mathrm{Gal}(K^{\mathrm{ab}}/K)$

역사

"이델"(프랑스어: idèle)의 개념은 클로드 슈발레가 도입하였다.^:357 슈발레는 이를 1936년에 "아이디얼 원소"(프랑스어: élément idéal 엘레망티데알^[*])이라는 이름으로 도입하였고, 1940년에는 헬무트 하세의 의견을 따라 프랑스어: idèle 이델^[*]로 축약하였다. 이는 "아이디얼 원소"를 "id.el."로 축약한 것을 그대로 읽은 것이다.^:357

앙드레 베유는 1938년에 함수체의 아델 환을 정의하였지만 명명하지 않았다. 이후 존 테이트는 이를 "값매김 벡터"(영어: valuation vector)라고 불렸고, 클로드 슈발레는 이를 재분배(영어: repartition)라고 불렀다. "아델"이라는 이름은 1954년에 문헌에 등장하기 시작하며, 아마 앙드레 베유가 지어낸 것으로 추측된다. "아델"(프랑스어: adèle)은 프랑스어에서 여성 이름이며, "덧셈적 이델"(프랑스어: idèle additif 이델 아디티프^[*])을 줄인 것이다.^:357

각주

• Fröhlich, Albrecht; J. W. Cassels (1967). 《Algebraic number theory》 (영어). Academic Press. ISBN 978-0-12-163251-9. Zbl 0153.07403. 
• Lang, Serge (1994). 《Algebraic number theory》 2판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 110. New York: Springer. ISBN 978-0-387-94225-4. MR 1282723. Zbl 0811.11001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• Platonov, V.P. (2001). “Adele group” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Idèle” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Adèle” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Adèle group” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Idèle” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Ring of adeles” (영어). 《nLab》. 
• “Group of ideles” (영어). 《nLab》. 
• Mathew, Akhil (2010년 5월 21일). “The adele ring” (영어). 《Climbing Mount Bourbaki》. 
• Mathew, Akhil (2010년 5월 22일). “Ideles, idele classes, and applications” (영어). 《Climbing Mount Bourbaki》. 
• Mathew, Akhil (2010년 6월 3일). “Why the idele class group is really an ideal group” (영어). 《Climbing Mount Bourbaki》. 

같이 보기

• 아이디얼 유군
• 반직선 유군