이름 (강제법)

집합론에서 이름(영어: name)은 강제법에 등장하는, 집합의 개념의 일종의 일반화인 누적 위계이다. 집합의 경우 무언가가 집합의 원소인지 여부는 참 또는 거짓이지만, 무언가가 이름의 원소인지 여부는 보다 일반적인 원순서 집합 또는 완비 불 대수의 원소에 따라 나타내어진다.

정의

이름

임의의 집합 $X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 연산

$Q:S\mapsto 𝒫(S\times X)$

에 대한 누적 위계를 $X$-이름 위계(영어: hierarchy of $X$-names)라고 하며,^{:188, Definition VII.2.5} ${\mathrm{Name}}_{X,\alpha }$로 표기한다. 이 개념은 강제법에 핵심적으로 사용된다.

임의의 두 이름 $\sigma ,\tau \in {\mathrm{Name}}_X$에 대하여, $\sigma \in \tau$의 "참·거짓 여부"는 다음과 같은 $X$의 부분 집합으로 나타내어진다.

$\{x\in X:(\sigma ,x)\in \tau \}$

즉, 이 경우 참·거짓 여부가 (고전 논리의) 2원소 불 대수 $\{\mathrm{\top },\mathrm{\perp }\}$ 대신 불 대수 $𝒫(X)$로 나타내어진다.

임의의 순서수 $\alpha$에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.

$\mathrm{dom}:{\mathrm{Name}}_{X,\alpha }\to 𝒫({\mathrm{Name}}_{X,\alpha })$

$\mathrm{dom}(\tau )=\{\sigma :(\sigma ,x)\in X\}$

좋은 이름

원순서 집합 $(X,\lesssim )$와 $P$-이름 $\tau$가 주어졌다고 하자. 또한, 함수 $f:\mathrm{dom}\tau \to 𝒫(X)$의 치역의 모든 원소가 $P$의 강상향 반사슬이라고 하자. 이 경우, 다음과 같은 이름을 구성할 수 있다.

$\sigma =\{({\tau }^{\prime },x):{\tau }^{\prime }\in \mathrm{dom}\tau ,x\in f({\tau }^{\prime })\}$

이러한 꼴의 이름을 $\tau$에 대한 좋은 이름(영어: nice name)이라고 한다.^{:208, Definition VII.5.11}

특히, $\tau$에 대한 좋은 이름 $\sigma$가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

$\mathrm{dom}\sigma \subseteq \mathrm{dom}\tau$

성질

범주론적 성질

임의의 순서수 $\alpha$에 대하여, ${\mathrm{Name}}_{-,\alpha }:\mathrm{Set}\to \mathrm{Set}$는 함자를 이룬다. 구체적으로, 임의의 함수 $f:X\to Y$에 대하여,

${\mathrm{Name}}_{f,\alpha }:N\mapsto \{({\mathrm{Name}}_{f,\beta }(a),f(x)):(a,x)\in N,a\in {\mathrm{Name}}_{X,\beta },\beta <\alpha \}$

이다.

보다 일반적으로, $\mathrm{Rel}$이 집합과 이항 관계의 범주일 때, 다음과 같은 함자가 존재한다.

${\mathrm{Name}}_{-,\alpha }:\mathrm{Rel}\to \mathrm{Set}$

${\mathrm{Name}}_{R,\alpha }:\sigma \mapsto \{({\mathrm{Name}}_{R,\beta }(\tau ),y):(\tau ,x)\in \sigma ,(x,y)\in R\}$

임의의 부분 집합 $S\subseteq X$ 및 한원소 집합 $\{\bullet \}$에 대하여, 다음과 같은 이항 관계 $R_S$를 생각하자.

$(x,\bullet )\in R_S⟺x\in S$

그렇다면, 함수

${\mathrm{Name}}_{R_S}:{\mathrm{Name}}_X\to {\mathrm{Name}}_{\{\bullet \}}\cong V$

를 생각하자. 이를 $X$-이름의 $S$-해석이라고 하며,

${\mathrm{val}}_S:{\mathrm{Name}}_X\to V$

로 표기한다.^{:189, Definition VII.2.7}

강제법에서, ${\mathrm{val}}_S(u)$는 포괄적 순서 아이디얼 $S$를 사용하여 정의한 확장된 원소를 나타낸다.

모형 이론적 성질

이름의 개념은 ZFC의 표준 추이적 모형에 대하여 절대적이다.^{:188, §VII.2} 즉, ZFC의 표준 추이적 모형 $M$ 및 $X\in M$ 및 집합 $\tau \in M$에 대하여, 다음이 성립한다.

$(M\models (\tau \in {\mathrm{Name}}_X))⟺\tau \in {\mathrm{Name}}_X$

다시 말해, $({\mathrm{Name}}_X{)}^M={\mathrm{Name}}_X\cap M$이다. 마찬가지로, 좋은 이름의 개념은 절대적이다.

ZFC의 표준 추이적 모형 $M$ 및 원순서 집합 $X\in M$ 및 두 이름 $\mu ,\sigma \in M\cap {\mathrm{Name}}_X$에 대하여, 다음이 성립하는 $\sigma$-좋은 이름 $\tau$가 존재한다.

$\mathrm{\forall }x\in X:x⊩(\mu \subseteq \sigma ⟹\mu =\tau )$

다시 말해, 임의의 $X$의 포괄적 순서 아이디얼 $G$ 및 $\sigma \in {\mathrm{Name}}_X\cap M$ 및 $S\in 𝒫({\mathrm{val}}_G(\sigma ))\cap M[G]$에 대하여, ${\mathrm{val}}_G(\tau )=S$인 $\sigma$-좋은 이름 $\tau$가 존재한다. (그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 만약 $\tau$가 $\sigma$-좋은 이름일 때, ${\mathrm{val}}_G(\tau )\subseteq {\mathrm{val}}_G(\sigma )$일 필요는 없다.^:209)

예

만약 $X$가 공집합이라면 ${\mathrm{Name}}_{\varnothing }=\{\varnothing \}$이다.

만약 $X$가 한원소 집합이라면 $Q$는 멱집합 연산과 동형이며, 이름 위계는 폰 노이만 전체와 동형이다. 이에 따라 이름 위계는 폰 노이만 전체의 확장으로 여길 수 있다.