접촉기하학

파일:Overtwisted contact structure.png

접촉기하학(接觸幾何學, 영어: contact geometry)은 접촉 구조를 연구하는, 미분기하학의 한 분야이다. 짝수 차원에서 존재하는 심플렉틱 기하학에 대응되는 분야이며, 홀수 차원의 다양체를 다룬다.

정의

$M$ 이 $2 n + 1$ 차원의 매끄러운 다양체라고 하자. $M$ 위의 접촉 형식(接觸形式, 영어: contact form)는 다음과 같은 조건을 만족하는 1차 미분 형식 $α$ 이다.

$α \land (d α)^{n} \neq 0$ .

접촉 형식들의 집합에 다음과 같은 동치관계를 정의하자. $λ : M \to ℝ$ 가 어디서나 0이 아닌 연속함수라면,

α \sim λ α

.

이 동치관계에 대한 동치류 $[α]$ 를 접촉 구조(接觸構造, 영어: contact structure)라고 한다. 즉, 같은 동치류에 속하는 서로 다른 두 접촉 형식은 같은 접촉 구조를 정의한다. 또한, 접촉 형식이 국소적으로만 존재하는 경우도 있는데, 이 경우 접촉 형식들이 국소적으로 존재하여, 그 이어붙이는 구간에 서로 동치여야 한다. 이는 심플렉틱 기하학에서 심플렉틱 퍼텐셜이 국소적으로만 존재하는 것과 마찬가지다.

접촉 구조를 갖춘 매끄러운 다양체를 접촉다양체(接觸多樣體, 영어: contact manifold)라고 한다.

레브 벡터장

접촉 형식 $α$ 가 주어지면, 레브 벡터장(Reeb vector場, Reeb vector field)은 다음 두 조건을 만족하는 유일한 벡터장 $X$ 이다.

$X ⌟ d α = 0$ ( $⌟$ 는 내부적(interior product)
$X ⌟ α = 1$ .

이 벡터장은 접촉 형식에 의존한다. 즉, 같은 접촉 구조를 나타내는 접촉 형식도 다른 레브 벡터장을 가질 수 있다.

르장드르 부분다양체

심플렉틱 다양체에는 자연스럽게 라그랑주 부분 다양체를 정의할 수 있다. 마찬가지로 접촉다양체에도 자연스러운 부분 다양체의 개념이 존재하는데, 이를 르장드르 부분 다양체(Legendrian submanifold)라고 한다. $M$ 이 접촉다양체이고, $α$ 가 그 (국소적) 접촉 형식이라면, 다음을 만족하는 부분다양체 $N \subset M$ 을 $M$ 의 르장드르 부분 다양체라고 한다.

모든 $x \in N$ 에서, $T_{x} N ⌟ α = 0$ .

이 조건은 접촉 형식의 선택에 의존하지 않는다. 즉, 서로 동치인 두 접촉 형식은 같은 르장드르 부분다양체를 정의한다.

접촉다양체의 심플렉틱화

$2 n + 1$ 차원 접촉다양체 $M$ 이 주어지면, 다음과 같이 $M$ 을 부분 다양체로 갖는 $2 n + 2$ 차원 심플렉틱 다양체 $(\hat{M}, ω)$ 를 다음과 같이 정의할 수 있는데, 이를 심플렉틱화(symplectic化, symplectization)라고 한다.

다양체로서, $\hat{M} = M \times (0, \infty)$ 이다. 여기에 다음과 같이 심플렉틱 형식 $ω$ 를 정의할 수 있다. $M$ 의 국소좌표계 $x^{i}$ 를 잡고, $0 < λ < \infty$ 가 벡터 다발의 좌표라고 하자. 또한, $α$ 가 $M$ 의 접촉 형식이라고 하자. 그렇다면 $(x^{i}, λ)$ 에 다음과 같이 심플렉틱 형식을 정의할 수 있다.

ω = d (λ α) = d λ \land α + λ d α

.

해밀턴 역학과의 관계

해밀토니언이 시간에 의존하지 않는 경우, 해밀턴 역학은 자연스럽게 심플렉틱 기하학으로 다루어진다. 해밀토니언이 시간에 의존하는 경우, 해밀턴 역학은 자연스럽게 접촉기하학으로 다루어진다.

일반화 위치 $q^{i}$ 와 일반화 운동량 $p_{i}$ , 시간 $t$ 를 좌표로 하는 $2 n + 1$ 차원 공간 $M$ 을 생각하자. 이를 확장 위상 공간(영어: extended phase space)이라고 한다. 해밀토니언 $H : M \to ℝ$ 는 확장 위상 공간 위에 정의된 함수다. 그렇다면 여기에 다음과 같은 접촉 형식 $α$ 를 정의할 수 있다.

α = \sum_{i} p_{i} d q^{i} - H (q, p, t) d t

.

이로써 확장 위상 공간은 접촉다양체의 구조를 가진다.

이 접촉 형식의 레브 벡터장은 다음과 같다.

X = \frac{1}{L} (\frac{\partial}{\partial t} + \sum_{i} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{\partial}{\partial q^{i}} - \sum_{i} \frac{\partial H}{\partial q_{i}} \frac{\partial}{\partial p^{i}})

.

여기서

L = \frac{\partial H}{\partial q_{i}} p^{i} - H

는 라그랑지언이다.

물리량 $F (q, p, t)$ 의 시간 변화는 다음과 같다.

\frac{d F}{d t} = L X^{I} \frac{\partial F}{\partial x^{I}}

.

(여기서 $x^{I} = (q^{1}, \dots, q^{i}, \dots, q^{n}, p_{1}, \dots, p_{i}, \dots, p_{n}, t)$ 이다.) 시간 대신 작용 $d S = L d t$ 를 변수로 하면 다음과 같다.

\frac{d F}{d S} = X^{I} \frac{\partial F}{\partial x^{I}}

.

참고 문헌

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Geiges, H. An Introduction to Contact Topology, Cambridge University Press, 2008.
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같이 보기

외부 링크

Lumiste, Ü. (2001). “Contact structure” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.

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